MDC e MMC
Guia completo de MDC e MMC: maximo divisor comum, minimo multiplo comum, divisibilidade, fatoracao em primos, regras de divisibilidade, crivo de Eratosthenes, metodo de Euclides e aplicacoes praticas. Exercicios interativos para ENEM, concursos e vestibulares.
MDC e MMC
Maximo divisor comum e minimo multiplo comum: divisibilidade, numeros primos, fatoracao em primos, regras de divisibilidade, crivo de Eratosthenes, metodo de Euclides e aplicacoes praticas. Tudo que voce precisa pra mandar bem em provas.
Indice
- 1. O que e Divisibilidade?
- 2. Regras de Divisibilidade (2, 3, 5, 7, 9, 10, 11)
- 3. Numeros Primos
- 4. Crivo de Eratosthenes
- 5. Fatoracao em Primos
- 6. MDC — Maximo Divisor Comum
- 7. MMC — Minimo Multiplo Comum
- 8. Relacao entre MDC e MMC
- 9. Aplicacoes Practicas
- 10. Exemplos Resolvidos Passo a Passo
- 11. Erros Comuns em Provas
- 12. Quiz Interativo
O que e Divisibilidade?
Um numero a e divisivel por b quando a divisao a/b nao deixa resto. Simples assim. Se 12 / 3 = 4 (sem resto), entao 12 e divisivel por 3. Mas se 13 / 3 = 4 e sobra 1, entao 13 nao e divisivel por 3.
Divisibilidade e o primeiro passo pra entender MDC e MMC. Quando voce sabe se um numero e divisivel por outro, consegue descobrir quais numeros sao fatores comuns entre dois valores. E e exatamente isso que faz o MDC funcionar.
Na prova, o conceito de divisibilidade aparece o tempo todo — desde questoes simples de "qual numero e divisivei por X?" ate problemas complexos que envolvem MDC e MMC. Dominar as regras de divisibilidade economiza tempo e evita erros.
Exemplo basico
Verificando divisibilidade
O numero 48 e divisivel por 6? Precisa ser divisivel por 2 E por 3 (porque 6 = 2 x 3).
48 termina em 8 (par) → divisivel por 2
4 + 8 = 12 e 12 / 3 = 4 → divisivel por 3
Como e divisivel por 2 e por 3 ao mesmo tempo, 48 e divisivel por 6. Resultado: 48 / 6 = 8.
Regra geral
Se um numero e divisivel por A e por B ao mesmo tempo, ele e divisivel pelo MMC de A e B. Por exemplo, se e divisivel por 4 e por 6, e divisivel por MMC(4, 6) = 12.
Regras de Divisibilidade
Nao precisa fazer conta na mao pra saber se um numero e divisivel por outro. Existem macetes pra cada divisor — e cai muito em prova. Dominar essas regras e a diferenca entre acertar e errar uma questao rapida.
| Divisor | Regra | Exemplo | Por que funciona |
|---|---|---|---|
| 2 | Ultimo algarismo par (0, 2, 4, 6, 8) | 348 termina em 8 → divisivei | Numeros pares terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8 |
| 3 | Soma dos algarismos e divisivei por 3 | 267: 2+6+7=15, 15/3=5 → Sim | Potencias de 10 deixam resto 1 ao dividir por 3 |
| 4 | Ultimos dois algarismos divisiveis por 4 | 3.124: 24/4=6 → Sim | 100 e divisivei por 4, entao so importa o fim |
| 5 | Ultimo algarismo 0 ou 5 | 190 termina em 0 → divisivei | Multiplos de 5 sempre terminam em 0 ou 5 |
| 6 | Divisivel por 2 e por 3 ao mesmo tempo | 48: par e soma=12 (div por 3) → Sim | 6 = 2 x 3, entao precisa cumprir as duas regras |
| 7 | Nao tem macete rapido — divida direto | 91 / 7 = 13 → divisivei | A regra existe (dobro do ultimo algarismo), mas e trabalhosa |
| 8 | Ultimos tres algarismos divisiveis por 8 | 5.120: 120/8=15 → Sim | 1.000 e divisivei por 8 |
| 9 | Soma dos algarismos e divisivei por 9 | 567: 5+6+7=18, 18/9=2 → Sim | Mesma logica da regra do 3 |
| 10 | Ultimo algarismo 0 | 430 termina em 0 → divisivei | Multiplos de 10 sempre terminam em 0 |
| 11 | Diferenca alternada dos algarismos = 0 ou divisivei por 11 | 1.231: (1+3)-(2+1)=1 → Nao | Base 10 = 11-1, por isso a alternancia funciona |
Exemplo pratico: regra do 11
Verifique se 91.016 e divisivei por 11:
Soma dos algarismos nas posicoes impares: 9 + 0 + 6 = 15
Soma dos algarismos nas posicoes pares: 1 + 1 = 2
Diferenca: 15 - 2 = 13
13 nao e divisivei por 11, entao 91.016 nao e divisivei por 11.
Cuidado na prova: a regra do 7 nao e tao simples. Pra 7, 13 e 17, o jeito mais pratico e fazer a divisao direta ou usar fatoracao em primos. Nao perca tempo tentando aplicar regras complicadas quando a divisao e simples.
Combinando regras
O numero 720 e divisivei por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10 ao mesmo tempo. Veja:
Termina em 0 → divisivei por 2, 5 e 10
Soma: 7+2+0=9, 9/9=1 → divisivei por 3 e 9
Ultimos dois: 20/4=5 → divisivei por 4
Divisivel por 2 e 3 → divisivei por 6
Ultimos tres: 720/8=90 → divisivei por 8
720 e o MMC de varios numeros pequenos!
Numeros Primos
Um numero primo e aquele que so e divisivel por 1 e por ele mesmo. Os primeiros numeros primos sao: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...
Por que numeros primos importam? Porque todo numero natural maior que 1 pode ser escrito como produto de primos. E isso e a chave pra calcular MDC e MMC. E o que chamamos de fatoracao em primos — o assunto mais importante desta aula.
Propriedades dos numeros primos
1) O numero 1 NAO e primo. Ele so e divisivel por 1, mas tem apenas um divisor, nao dois.
2) O numero 2 e o unico primo par. Todos os outros primos sao impares.
3) Nao existe numero primo maior que 1 que seja divisivei por outro primo que nao seja ele mesmo.
4) Existem infinitos numeros primos (demonstrado por Euclides ha mais de 2.000 anos).
Como identificar se um numero e primo
Pra saber se um numero N e primo, basta verificar se ele e divisivei por algum primo ate a raiz quadrada de N. Se nao for divisivei por nenhum, e primo.
Verificando se 97 e primo
Raiz de 97 = aproximadamente 9,85. Precisamos verificar divisiveis por: 2, 3, 5 e 7.
97 / 2 = 48,5 (nao e inteiro)
97 / 3 = 32,33 (nao e inteiro)
97 / 5 = 19,4 (nao e inteiro)
97 / 7 = 13,85 (nao e inteiro)
97 nao e divisivel por nenhum primo ate sua raiz. 97 e primo!
Verificando se 51 e primo
Raiz de 51 = aproximadamente 7,14. Verificamos: 2, 3, 5, 7.
51 / 3 = 17 (inteiro!)
51 e divisivei por 3. 51 NAO e primo. Fatoracao: 51 = 3 x 17.
Erro classico: 51 e 91 parecem primos, mas nao sao. 51 = 3 x 17 e 91 = 7 x 13. Muita gente erra esses dois em prova. Memorize-os!
Crivo de Eratosthenes
O Crivo de Eratosthenes e um metodo antigo e brilhante pra achar todos os numeros primos ate um determinado numero N. Foi inventado pelo matematico grego Eratosthenes, que viveu ha mais de 2.200 anos.
Como funciona o Crivo
- Liste todos os numeros de 2 ate N.
- Comece pelo 2 (o menor primo). Riscque todos os multiplos de 2 (exceto o proprio 2): 4, 6, 8, 10, 12...
- Va pro proximo numero nao riscado (3). Riscque todos os multiplos de 3: 6, 9, 12, 15...
- Continue com o proximo numero nao riscado (5), depois 7, 11, 13...
- Pare quando o proximo numero ao quadrado for maior que N.
- O que sobrar sao os numeros primos!
Crivo de Eratosthenes ate 30
Lista: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30
Riscando multiplos de 2: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
Riscando multiplos de 3: 9, 15, 21, 27 (6, 12, 18, 24 ja foram riscados)
Riscando multiplos de 5: 25 (10, 15, 20, 30 ja foram riscados)
7 x 7 = 49 > 30, pare aqui.
Primos ate 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (10 primos)
Por que o Crivo funciona?
Todo numero composto (nao primo) tem pelo menos um fator primo menor ou igual a sua raiz quadrada. Entao, ao riscar os multiplos de todos os primos ate a raiz de N, voce garante que todos os compostos serao eliminados. O que sobra e, necessariamente, primo.
Fatoracao em Primos
Fatoracao em primos (ou decomposicao em fatores primos) consiste em escrever um numero como produto de numeros primos. E a ferramenta mais poderosa pra calcular MDC e MMC — e o Teorema Fundamental da Aritmetica.
Teorema Fundamental da Aritmetica
Todo numero natural maior que 1 pode ser escrito como produto de numeros primos de forma unica (a nao ser que voce mude a ordem dos fatores). Por exemplo, 60 sempre vai ser 2 x 2 x 3 x 5, independente da ordem.
Como fazer a fatoracao
Divida o numero por primos crescentes (2, 3, 5, 7, 11...) ate chegar em 1. Anote cada divisor.
Fatoracao passo a passo: 360
360 / 2 = 180
180 / 2 = 90
90 / 2 = 45
45 / 3 = 15
15 / 3 = 5
5 / 5 = 1
360 = 2^3 x 3^2 x 5
Fatoracao: 252
252 / 2 = 126
126 / 2 = 63
63 / 3 = 21
21 / 3 = 7
7 / 7 = 1
252 = 2^2 x 3^2 x 7
Fatoracao: 1.000
1.000 / 2 = 500
500 / 2 = 250
250 / 2 = 125
125 / 5 = 25
25 / 5 = 5
5 / 5 = 1
1.000 = 2^3 x 5^3
Dica: sempre comece dividindo por 2. Depois va pros primos seguintes (3, 5, 7, 11...). Quando o numero que voce esta dividindo for primo, a ultima divisao vai dar 1. Se pular algum primo, a fatoracao fica errada.
MDC — Maximo Divisor Comum
O MDC de dois ou mais numeros e o maior numero que divide todos eles sem deixar resto. Tambem chamado de MDC (em ingles, GCD — Greatest Common Divisor). E uma das operacoes mais importantes da aritmetica.
Metodo 1: Por fatoracao em primos
Faca a fatoracao em primos de cada numero. Pegue os fatores COMUNS com o MENOR exponente. Multiplique e pronto — esse e o MDC.
Exemplo resolvido: MDC(36, 48)
36 = 2^2 x 3^2
48 = 2^4 x 3^1
Fatores comuns: 2 e 3.
Menores exponentes: 2^2 e 3^1.
MDC = 2^2 x 3 = 4 x 3 = 12
O maior numero que divide 36 e 48 e 12.
Exemplo: MDC(60, 84, 120)
60 = 2^2 x 3 x 5
84 = 2^2 x 3 x 7
120 = 2^3 x 3 x 5
Fatores comuns a TODOS: 2 e 3.
Menores exponentes: 2^2 e 3^1.
MDC = 4 x 3 = 12
Metodo 2: Metodo de Euclides (divisoes sucessivas)
Esse metodo e mais pratico pra numeros grandes. Funciona assim: divida o maior numero pelo menor e guarde o resto. Depois divida o divisor pelo resto. Continue ate o resto ser zero. O ultimo divisor usado e o MDC.
Metodo de Euclides: MDC(48, 36)
48 / 36 = 1, resto 12
36 / 12 = 3, resto 0
Resto zero! O ultimo divisor foi 12.
MDC(48, 36) = 12
Metodo de Euclides: MDC(252, 180)
252 / 180 = 1, resto 72
180 / 72 = 2, resto 36
72 / 36 = 2, resto 0
MDC(252, 180) = 36
Vantagem do metodo de Euclides
Nao precisa decompor em primos. Funciona bem pra numeros grandes onde a fatoracao e trabalhosa. Por exemplo, calcular MDC(1.001, 91) pelo metodo de Euclides e rapido: 1.001 / 91 = 11, resto 0. MDC = 91. Ja pela fatoracao, precisaria decompor 1.001 = 7 x 11 x 13 e 91 = 7 x 13.
Metodo 3: Listando divisiveis
Metodo mais simples (por isso mais lento): liste todos os divisiveis de cada numero e encontre o maior que aparece nos dois. Funciona bem pra numeros pequenos.
Listando divisiveis: MDC(12, 18)
Divisiveis de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisiveis de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Comuns: 1, 2, 3, 6. O maior e 6.
MDC(12, 18) = 6
MMC — Minimo Multiplo Comum
O MMC de dois ou mais numeros e o menor numero que e multiplo de todos eles. Tambem chamado de MMC (em ingles, LCM — Least Common Multiple). E essencial pra somar fracoes com denominadores diferentes.
Metodo 1: Por fatoracao em primos
Faca a fatoracao em primos de cada numero. Pegue TODOS os fatores com o MAIOR exponente. Multiplique e pronto — esse e o MMC.
Exemplo resolvido: MMC(12, 18)
12 = 2^2 x 3
18 = 2 x 3^2
Todos os fatores com maiores exponentes: 2^2 e 3^2.
MMC = 4 x 9 = 36
O menor numero que e multiplo de 12 e 18 e 36.
Exemplo: MMC(6, 8, 12)
6 = 2 x 3
8 = 2^3
12 = 2^2 x 3
Fatores: 2 e 3. Maiores exponentes: 2^3 e 3^1.
MMC = 8 x 3 = 24
Metodo 2: Usando a formula com o MDC
Se voce ja sabe o MDC, use a formula: MMC(a, b) = (a x b) / MDC(a, b). Muito mais rapido!
Usando a formula: MMC(12, 18)
MDC(12, 18) = 6
MMC = (12 x 18) / 6 = 216 / 6 = 36
Mesmo resultado, muito mais rapido.
Metodo 3: Listando multiplos
Liste os multiplos de cada numero e encontre o menor que aparece em todos. Funciona pra numeros pequenos.
Listando multiplos: MMC(4, 6)
Multiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...
Multiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36...
Menor comum: 12.
MMC(4, 6) = 12
Relacao entre MDC e MMC
Existe uma formula matematica que liga o MDC e o MMC de dois numeros de forma elegante:
Formula fundamental
MDC(a, b) x MMC(a, b) = a x b
O produto do MDC pelo MMC de dois numeros e igual ao produto dos proprios numeros. Essa formula e muiiiito util em provas — permite calcular um quando voce ja sabe o outro.
Exemplo: encontrando o MMC a partir do MDC
Se MDC(15, 20) = 5, qual e MMC(15, 20)?
MMC = (15 x 20) / 5 = 300 / 5 = 60
MMC(15, 20) = 60
Verificacao: 60 e divisivei por 15? 60/15 = 4. Sim! E por 20? 60/20 = 3. Sim!
Exemplo: encontrando o MDC a partir do MMC
Se MMC(8, 12) = 24, qual e MDC(8, 12)?
MDC = (8 x 12) / 24 = 96 / 24 = 4
MDC(8, 12) = 4
Cuidado: essa formula so funciona para DOIS numeros. Para tres ou mais numeros, a relacao geral nao e tao direta. Pra tres numeros, MDC(a,b,c) x MMC(a,b,c) geralmente NAO e igual a a x b x c. Nao generalize!
Aplicacoes Practicas
MDC e MMC nao sao so teoria — resolvem problemas reais do dia a dia e cai bastante em provas do ENEM, concursos e vestibulares. Aqui vao as principais aplicacoes:
Quando usar MDC
- Simplificar fracoes: pra reduzir 12/18 ao minimo, divida numerador e denominador pelo MDC. MDC(12, 18) = 6, entao 12/18 = 2/3.
- Dividir coisas igualmente: se voce tem 24 laranjas e 36 macas e quer fazer cestas com o mesmo numero de cada fruta (sem sobrar nada), quantas cestas no maximo? MDC(24, 36) = 12. Resposta: 12 cestas.
- Tamanho de pastilhas: quer revestir um piso de 3m x 4,2m com pastilhas quadradas sem cortar nenhuma. Qual o maior tamanho de pastilha? Converter pra cm: 300 x 420. MDC(300, 420) = 60. Pastilhas de 60cm.
- Divisao de material: um professor tem 180 cadernos e 240 canetas. Quer montar kits com o mesmo numero de cada item, sem sobrar nada. Quantos kits no maximo? MDC(180, 240) = 60 kits.
Quando usar MMC
- Somar fracoes com denominadores diferentes: pra somar 1/3 + 1/4, precisa de um denominador comum. O menor e o MMC(3, 4) = 12.
- Sincronizar ciclos: dois semaforos piscam a cada 30s e 45s. Quando piscam juntos de novo? MMC(30, 45) = 90 segundos.
- Menor numero divisivel por varios: qual o menor numero divisivei por 2, 3, 4, 5 e 6? MMC(2,3,4,5,6) = 60.
- Repeticao de eventos: dois trens partem ao mesmo tempo. Um passa a cada 12 min e outro a cada 18 min. Quando passam juntos de novo? MMC(12, 18) = 36 minutos.
- Producao em escala: uma fabrica produz lotes de 8 e lotes de 12 pecas. Qual o menor numero de pecas que permite fazer lotes exclusivos de cada tipo? MMC(8, 12) = 24.
Caso classico de prova: cestas de frutas
Um jardineiro tem 36 roseiras e 48 hortensias. Ele quer plantar fileiras com o mesmo numero de cada flor, sem sobrar nenhuma. Qual o maior numero de fileiras possivel?
Resposta: MDC(36, 48) = 12 fileiras. Cada fileira tera 3 roseiras e 4 hortensias.
Caso classico de prova: semaforos
Dois semaforos no cruzamento piscam a cada 40 segundos e a cada 60 segundos. Se ambos piscaram agora, quando piscarao juntos de novo?
Resposta: MMC(40, 60) = 120 segundos = 2 minutos.
MDC de fracoes
Existe MDC de fracoes? Sim! O MDC de fracoes e dado por: MDC(a/b, c/d) = MDC(a,c) / MMC(b,d).
Exemplo: MDC(3/4, 5/6) = MDC(3,5) / MMC(4,6) = 1 / 12.
Na pratica, raramente cai em prova — mas e bom saber que existe.
MMC de fracoes
O MMC de fracoes e dado por: MMC(a/b, c/d) = MMC(a,c) / MDC(b,d).
Exemplo: MMC(2/3, 3/4) = MMC(2,3) / MDC(3,4) = 6 / 1 = 6.
Tambem raramente cai em prova, mas e bom ter no curriculum.
Exemplos Resolvidos Passo a Passo
Exercicio 1: MDC e MMC de 84 e 120
Fatoracao:
84 = 2^2 x 3 x 7
120 = 2^3 x 3 x 5
MDC: fatores comuns com menor expoente = 2^2 x 3 = 12
MMC: todos os fatores com maior expoente = 2^3 x 3 x 5 x 7 = 840
Verificacao: 12 x 840 = 10.080 = 84 x 120. A formula funciona!
Exercicio 2: simplificar 156/204
Passo 1: Fatorar 156 e 204.
156 = 2^2 x 3 x 13
204 = 2^2 x 3 x 17
Passo 2: MDC(156, 204) = 2^2 x 3 = 12.
Passo 3: Dividir: 156/12 = 13 e 204/12 = 17.
156/204 = 13/17 (fracao irredutivel)
Exercicio 3: problema pratico
Joao acorda a cada 8 minutos e Maria a cada 12 minutos. Se acordaram juntos as 6h, quando acordarao juntos de novo?
Resposta: MMC(8, 12) = 24 minutos.
Acordarao juntos de novo as 6h24min.
Exercicio 4: metodo de Euclides pra MDC(135, 75)
135 / 75 = 1, resto 60
75 / 60 = 1, resto 15
60 / 15 = 4, resto 0
MDC(135, 75) = 15
Exercicio 5: calcular MMC usando a formula
MMC(48, 36) usando a formula:
MDC(48, 36) = 12 (ja calculamos antes)
MMC = (48 x 36) / 12 = 1.728 / 12 = 144
Verificacao: 144/48 = 3 e 144/36 = 4. Ambos divisoes inteiras. Correto!
Erros Comuns em Provas
Esses sao os erros que mais caem em provas. Memoriza pra nao cair na cilada:
Erro 1: confundir MDC com MMC. O MDC e o MAIOR DIVISOR (divide todos os numeros), o MMC e o MENOR MULTIPLO (e dividido por todos). MDC e sempre menor ou igual aos numeros; MMC e sempre maior ou igual.
Erro 2: no metodo de Euclides, esquecer que o MDC e o ULTIMO DIVISOR, nao o ultimo resto. O MDC e o divisor da divisao que gerou resto zero, nao o quociente e nem o resto anterior.
Erro 3: na fatoracao, pegar os fatores errados. No MDC, pegue os fatores COMUNS com o MENOR expoente. No MMC, pegue TODOS os fatores com o MAIOR expoente. Trocar um pelo outro da errado.
Erro 4: achar que 1 e primo. 1 NAO e primo. O menor primo e 2. Se cair "quantos primos tem de 1 a 10?", a resposta e 4 (2, 3, 5, 7), nao 5.
Erro 5: achar que a formula MDC x MMC = a x b funciona pra tres numeros. Nao funciona! Pra tres numeros, a formula geral nao e tao simples. Nao generalize sem saber.
Erro 6: somar denominadores ao somar fracoes. 1/2 + 1/3 NAO e 2/5. Precisa encontrar o MMC dos denominadores primeiro, converter as fracoes e so depois somar os numeradores.
Erro 7: nao simplificar a resposta final. Muita prova desconta se voce deixar o resultado sem simplificar. Sempre divida numerador e denominador pelo MDC no final.
Pratique Agora — Quiz de MDC e MMC
Teste seus conhecimentos! Clica na alternativa certa e veja se acertou. Cada exercicio tem uma explicacao.
1. Qual o MDC de 12 e 18?
2. Qual o MMC de 4 e 6?
3. MDC(36, 48) = ?
4. MMC(3, 5) = ?
5. Se MDC(a, b) = 6 e a x b = 180, qual e o MMC(a, b)?
6. O numero 1 e considerado primo?
7. Qual o MDC de 252 e 180 pelo metodo de Euclides?
8. Duas luzes piscam a cada 12 e 18 segundos. Quando piscam juntas de novo?
9. Simplificando 156/204, qual e o MDC de 156 e 204?
10. MMC(8, 12) = ?
Continue Estudando
Agora que voce domina MDC e MMC, avance pros proximos topicos do modulo de Aritmetica:
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"Reprovar aluno no Fundamental 1 ajuda ou afunda a criança?"
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