Regra de Tres Completa
Guia completo de regra de tres: regra de tres simples, regra de tres composta, grandezas proporcionais, diretamente e inversamente proporcionais. Passo a passo, dicas pra prova, exercicios interativos para ENEM, concursos e vestibulares.
Regra de Tres Completa
Regra de tres simples e composta, grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Passo a passo, dicas pra prova e exercicios interativos.
O que e regra de tres?
A regra de tres e um dos temas mais importantes e mais cobrados em provas de matematica em todo o Brasil. Ela aparece no ENEM, em concursos publicos, em vestibulares e ate em provas do Ensino Fundamental e Medio. Se voce vai fazer qualquer uma dessas provas, dominar a regra de tres e obrigatorio.
Em termos simples, a regra de tres e um metodo pra resolver problemas onde grandezas estao relacionadas de forma proporcional. Quando uma grandeza muda de valor, a outra tambem muda de uma forma previsivel. A regra de tres te ajuda a descobrir o valor desconhecido com base nos valores conhecidos.
Imagine que voce sabe que 3 lapis custam R$ 4,50. Quanto custam 7 lapis? Esse e um caso classico de regra de tres: voce tem uma relacao de proporcionalidade entre quantidade e preco, e precisa encontrar um valor desconhecido. A resposta e simples de calcular: multiplicacao cruzada.
Quando usar a regra de tres?
Voce deve usar a regra de tres quando:
- O problema envolve duas grandezas relacionadas (como preco e quantidade, distancia e tempo, pessoas e dias de trabalho).
- Voce conhece tres dos quatro valores e precisa descobrir o quarto.
- A relacao entre as grandezas e proporcional — ou seja, existe uma constante de proporcionalidade entre elas.
Regra de ouro
Se o problema falar em "proporcional", "cada", "por", "a cada" ou "rateio", provavelmente e regra de tres. Se tiver "mais" ou "menos" (somando/subtraindo), ai nao e proporcional — cuidado!
Armadilha classica: o enunciado diz "3 operarios fazem um trabalho em 10 dias. Em quantos dias 5 operarios farao o mesmo trabalho?" A tendencia e multiplicar 3 x 10 e dividir por 5, mas na realidade e o contrario: com mais pessoas, o tempo diminui (grandezas inversamente proporcionais). A resposta e 6 dias, nao 6,67.
Grandezas proporcionais
Antes de entender a regra de tres propriamente dita, e preciso dominar o conceito de proporcionalidade. Existem dois tipos de grandezas proporcionais: as diretamente proporcionais e as inversamente proporcionais. Identificar corretamente o tipo e o passo mais importante pra resolver qualquer problema.
Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas sao diretamente proporcionais quando uma aumenta e a outra tambem aumenta, ou quando uma diminui e a outra tambem diminui. O sentido de variacao e o mesmo nas duas grandezas.
Como identificar grandezas diretamente proporcionais
Pergunte: "Se a primeira grandeza aumentar, a segunda tambem aumenta?" Se a resposta for sim, sao diretamente proporcionais. Simbolo: y = kx (onde k e a constante de proporcionalidade).
Exemplos de grandezas diretamente proporcionais:
- Preco e quantidade: se voce compra mais lapis, paga mais. Comprar o dobro de lapis custa o dobro.
- Distancia e tempo (velocidade constante): se voce anda mais tempo, percorre mais distancia.
- Numero de pessoas e quantidade de alimento: se mais pessoas vao jantar, mais comida precisa.
- Trabalho feito e horas trabalhadas: se voce trabalha mais horas, produz mais.
Exemplo pratico
Se 2 kg de frutas custam R$ 14,00, quanto custam 5 kg?
Analise: mais frutas = mais preco. Grandezas diretamente proporcionais.
Montando: 2 kg → R$ 14,00 | 5 kg → x
Resolvendo: x = (5 x 14) / 2 = 70 / 2 = R$ 35,00
Grandezas inversamente proporcionais
Grandezas sao inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui, ou quando uma diminui e a outra aumenta. O sentido de variacao e oposto.
Como identificar grandezas inversamente proporcionais
Pergunte: "Se a primeira grandeza aumentar, a segunda diminui?" Se a resposta for sim, sao inversamente proporcionais. Simbolo: y = k/x (o produto das duas grandezas e constante).
Exemplos de grandezas inversamente proporcionais:
- Velocidade e tempo (distancia constante): se voce anda mais rapido, chega mais rapido.
- Numero de operarios e tempo de trabalho: mais pessoas trabalhando, menos tempo leva.
- Numero de tanques e tempo de enchimento: mais tanques enchem mais rapido.
- Capacidade do caminhao e numero de viagens: quanto maior o caminhao, menos viagens precisa.
Exemplo pratico
Se 4 operarios fazem um trabalho em 15 dias, em quantos dias 10 operarios farao o mesmo trabalho?
Analise: mais operarios = menos dias. Grandezas inversamente proporcionais.
Montando: 4 ops → 15 dias | 10 ops → x dias
Resolvendo: x = (4 x 15) / 10 = 60 / 10 = 6 dias
Cuidado: na inversa, o resultado sempre e menor que o dado comparativo se a primeira grandeza aumentou. Se voce tem mais operarios, o tempo tem que ser menor. Se calcular e dar um numero maior, voce errou a proporcionalidade.
Regra do sinal: como identificar direta vs inversa
A regra do sinal e o atalho mais usado pra identificar rapidamente se grandezas sao diretamente ou inversamente proporcionais. Funciona assim:
Regra do sinal na pratica
Olhe os dados na ordem em que aparecem no enunciado. Se as grandezas estiverem na mesma direcao (ambas na mesma posicao da comparacao), e proporcionalidade direta. Se estiverem em direcoes opostas (uma subindo e outra descendo), e inversa.
Caso direto: 3 caixas custam R$ 90,00. Quanto custam 7 caixas?
Ordem: 3 caixas → 90 | 7 caixas → x
Mais caixas, mais preco. Ambos aumentam na mesma direcao. Diretamente proporcional.
Resolucao: x = (7 x 90) / 3 = 630 / 3 = R$ 210,00
Caso inverso: 5 caminhoes fazem 12 viagens. Quantas viagens farao 8 caminhoes?
Ordem: 5 caminhoes → 12 viagens | 8 caminhoes → x viagens
Mais caminhoes, menos viagens. Inversamente proporcional.
Resolucao: x = (5 x 12) / 8 = 60 / 8 = 7,5 viagens
Dica de memoria
"Mesmo sentido = direto, sentido oposto = inverso." Se as duas grandezas "andam juntas" (aumentam ou diminuem ao mesmo tempo), e direta. Se "andam em sentidos opostos" (uma sobe e a outra desce), e inversa. Essa regra funciona em 99% dos casos de prova.
Atencao: sempre leia o enunciado com calma. As vezes a pergunta inverte a ordem dos dados. Identifique corretamente o que e dado e o que e perguntado antes de montar.
Regra de tres simples: passo a passo
A regra de tres simples e a mais basica e a mais usada em provas. Ela envolve apenas duas grandezas e quatro valores: tres conhecidos e um desconhecido. O metodo e:
- Identifique as grandezas: quais sao as duas variaveis do problema (ex: quantidade e preco, pessoas e tempo).
- Monte a proporcao: coloque os valores em uma tabela ou esquema, com cada grandeza na sua linha.
- Identifique o tipo de proporcionalidade: e direta ou inversa?
- Resolva: use multiplicacao cruzada e divida pelo termo restante.
Exemplo completo: 5 canetas custam R$ 7,50. Quanto custam 8 canetas?
Passo 1 — Grandezas: quantidade (canetas) e preco (R$).
Passo 2 — Montagem: 5 canetas → R$ 7,50 | 8 canetas → x
Passo 3 — Proporcionalidade: mais canetas = mais preco. Direta.
Passo 4 — Resolucao: x = (8 x 7,50) / 5 = 60 / 5 = R$ 12,00
Exemplo inverso: 6 operarios fazem um trabalho em 20 dias. Em quantos dias 8 operarios farao?
Passo 1 — Grandezas: operarios e dias.
Passo 2 — Montagem: 6 operarios → 20 dias | 8 operarios → x dias
Passo 3 — Proporcionalidade: mais operarios = menos dias. Inversa.
Passo 4 — Resolucao: x = (6 x 20) / 8 = 120 / 8 = 15 dias
Exemplo com fracoes: se 3/4 de um deposito contem 900 litros, quantos litros tem o deposito todo?
Montagem: 3/4 → 900 litros | 1 (todo) → x litros
Resolucao: x = (1 x 900) / (3/4) = 900 x 4/3 = 3600 / 3 = 1200 litros
Erro classico: quando o dado e uma fracao, muita gente esquece de multiplicar pelo inverso. Se o termo que divide e uma fracao, multiplique pelo numerador e divida pelo denominador. Ou, mais simples: multiplique pelo inverso da fracao.
Regra de tres composta
A regra de tres composta e quando o problema envolve tres ou mais grandezas ao mesmo tempo. Em vez de comparar apenas duas variaveis, voce compara todas elas simultaneamente. E mais complexa, mas segue a mesma logica da simples.
Como funciona
Na composta, voce monta uma tabela com todas as grandezas e seus valores. Depois, identifica a proporcionalidade de cada grandeza em relacao a grandeza desconhecida. No final, resolve tudo de uma vez.
Regra da regra de tres composta
Para resolver: multiplique os termos que estao na mesma direcao (proporcionalidade direta) e divida pelos termos que estao em direcao oposta (proporcionalidade inversa). O resultado e o valor procurado.
Exemplo classico: 4 pedreiros constroem 6 casas em 30 dias. Em quantos dias 10 pedreiros constroem 15 casas?
Grandezas: pedreiros, casas e dias.
Montagem:
4 pedreiros → 6 casas → 30 dias
10 pedreiros → 15 casas → x dias
Proporcionalidades:
- Pedreiros x Dias: inversa (mais pedreiros, menos dias)
- Casas x Dias: direta (mais casas, mais dias)
Resolucao:
x = (4 x 6 x 30) / (10 x 15) = 720 / 150 = 4,8 dias
Exemplo 2: 5 maquinas produzem 200 pecas em 8 horas. Quantas pecas 8 maquinas produzem em 6 horas?
Montagem:
5 maquinas → 200 pecas → 8 horas
8 maquinas → x pecas → 6 horas
Proporcionalidades:
- Maquinas x Pecas: direta (mais maquinas, mais pecas)
- Horas x Pecas: direta (mais horas, mais pecas)
Resolucao:
x = (8 x 200 x 6) / (5 x 8) = 9600 / 40 = 240 pecas
Exemplo 3 (ENEM): 12 operarios trabalhando 8 horas por dia constroem um muro em 10 dias. Em quantos dias 16 operarios trabalhando 6 horas por dia constroem o mesmo muro?
Montagem:
12 operarios → 8 horas → 10 dias
16 operarios → 6 horas → x dias
Proporcionalidades:
- Operarios x Dias: inversa
- Horas x Dias: direta
Resolucao:
x = (12 x 8 x 10) / (16 x 6) = 960 / 96 = 10 dias
Dica importante: na regra de tres composta, o valor procurado sempre fica sozinho na linha de baixo. Os dados ficam todos na linha de cima. Monte sempre nessa ordem pra nao errar a multiplicacao cruzada.
Dicas pra prova: como nao errar
A regra de tres e "facil" de entender, mas as provas adoram colocar armadilhas. Aqui vao as dicas mais importantes pra nao cair em furadas:
1. Unidades diferentes
As vezes as unidades nao batem direto. Por exemplo, "3 metros de fita custam R$ 12. Quanto custam 45 centimetros?" Voce precisa converter tudo pra mesma unidade antes de montar a proporcao.
Exemplo: 3 metros de fita custam R$ 12. Quanto custam 45 cm?
Conversao: 3 metros = 300 cm.
Montagem: 300 cm → R$ 12 | 45 cm → x
Resolucao: x = (45 x 12) / 300 = 540 / 300 = R$ 1,80
2. Inversa disfarcada
Algumas provas escondem a inversa por tras de palavras como "capacidade", "velocidade" ou "rendimento". Se a grandeza for uma taxa (producao por hora, velocidade, capacidade por viagem), geralmente e inversa com a quantidade de tempo ou de pessoas.
Sinais de inversa disfarcada: "caminhao faz X viagens" (capacidade x viagens = constante), "tanque enche em X horas" (torneira x tempo = constante), "carro percorre X km por litro" (consumo x distancia = constante). Sempre que a grandeza envolver uma "taxa", pense em inversa.
3. Rodizio (alternancia)
Em provas mais dificeis, o enunciado pode misturar grandezas com proporcionalidades diferentes (algumas diretas, outras inversas). Nesses casos, identifique cada proporcionalidade separadamente e aplique a regra do sinal pra cada uma.
Exemplo de rodizio: 3 caminhoes de 5 toneladas fazem 10 viagens. Quantas viagens farao 6 caminhoes de 4 toneladas?
Grandezas: numero de caminhoes, capacidade e numero de viagens.
Proporcionalidades:
- Numero de caminhoes x Viagens: inversa
- Capacidade x Viagens: direta (caminhao maior, menos viagens = inversa tambem!)
Resolucao: x = (3 x 5 x 10) / (6 x 4) = 150 / 24 = 6,25 viagens
4. Verifique se o resultado faz sentido
Depois de calcular, sempre pergunte: "o resultado e razoavel?" Se voce tem mais pessoas trabalhando, o tempo tem que ser menor. Se o produto e mais caro, o custo tem que ser maior. Se o resultado nao faz sentido logico, voce errou em algum lugar.
Checklist final de prova
Antes de marcar a alternativa, confira: (1) as grandezas estao corretas? (2) a proporcionalidade esta certa (direta/inversa)? (3) as unidades estao iguais? (4) o resultado faz sentido logico? Se tudo estiver ok, pode marcar com confianca.
Exemplos praticos do dia a dia
A regra de tres nao e so conteudo de prova — ela aparece o tempo todo na vida real. Aqui vao exemplos que voce pode encontrar no dia a dia:
Preco e compras
Supermercado: 1 kg de arroz custa R$ 5,40. Quanto custam 2,5 kg?
Montagem: 1 kg → R$ 5,40 | 2,5 kg → x
Direta: mais quantidade, mais preco.
x = (2,5 x 5,40) / 1 = 13,50 = R$ 13,50
Distancia e velocidade
Um carro percorre 180 km em 3 horas. Que velocidade media ele desenvolveu?
Relacao: distancia = velocidade x tempo. Velocidade = 180 / 3 = 60 km/h
Se o carro mantiver essa velocidade, quanto percorreria em 5 horas? 60 x 5 = 300 km
Trabalho e pessoas
Uma equipe de 8 pessoas monta um mobiliario em 4 horas. Se 2 pessoas faltarem, quanto tempo levarao as restantes?
Grandezas: pessoas e tempo (inversa).
Montagem: 8 pess. → 4 h | 6 pess. → x h
x = (8 x 4) / 6 = 32 / 6 = 5h 20min
Receitas de culinaria
Uma receita serve 4 pessoas e usa 3 ovos. Para 10 pessoas, quantos ovos preciso?
Montagem: 4 pess. → 3 ovos | 10 pess. → x ovos
Direta: mais pessoas, mais ovos.
x = (10 x 3) / 4 = 30 / 4 = 7,5 ovos
Conversoes de unidades
Se 1 litro equivale a 1000 ml, quanto equivalem 750 ml em litros?
Montagem: 1000 ml → 1 L | 750 ml → x L
x = (750 x 1) / 1000 = 0,75 L
Dica de vida real: quando for calcular algo importante (compra de materiais, receitas pra eventos, orcamentos), sempre faca a regra de tres e depois some uma margem de seguranca de 10% a 15%. Assim voce evita faltas.
Casos classicos de provas
Certas situacoes aparecem em praticamente toda prova. Conhecer esses "modelos" ajuda a resolver mais rapido. Aqui vao os mais comuns:
Operarios e trabalho
"5 operarios fazem um trabalho em 12 dias. Em quantos dias 10 operarios farao o mesmo trabalho?"
Tipo: inversa (mais operarios, menos dias).
x = (5 x 12) / 10 = 6 dias
Variacao classica: "em quantos dias 8 operarios farao?" x = (5 x 12) / 8 = 7,5 dias
Tanques e enchimento
"3 torneiras enchem um tanque em 8 horas. Em quantas horas 6 torneiras enchem o mesmo tanque?"
Tipo: inversa (mais torneiras, menos tempo).
x = (3 x 8) / 6 = 4 horas
Caminhoes e viagens
"4 caminhoes de 5 toneladas fazem 12 viagens. Quantas viagens farao 6 caminhoes de 4 toneladas?"
Tipo: composta. Numero de caminhoes e inversa com viagens. Capacidade e direta com viagens.
x = (4 x 5 x 12) / (6 x 4) = 240 / 24 = 10 viagens
Velocidade e distancia
"Um carro percorre 240 km em 3 horas. Que distancia percorreria em 5 horas, mantendo a mesma velocidade?"
Tipo: direta (mais tempo, mais distancia).
x = (5 x 240) / 3 = 1200 / 3 = 400 km
Receitas e porcoes
"Uma receita para 6 pessoas usa 2 xicaras de farinha. Para 9 pessoas, quantas xicaras preciso?"
Tipo: direta (mais pessoas, mais farinha).
x = (9 x 2) / 6 = 18 / 6 = 3 xicaras
ENEM: mistura de grandezas
"Se 10 pintores pintam 2 salas em 4 dias, em quantos dias 5 pintores pintam 3 salas?"
Grandezas: pintores (inversa com dias), salas (direta com dias).
x = (10 x 2 x 4) / (5 x 3) = 80 / 15 = 5,33 dias (aprox. 5 dias e 8 horas)
Erros comuns e como evitar
Muita gente perde pontos em provas por erros bestes na regra de tres. Conhecer os erros mais comuns ajuda a evita-los:
Erro 1: Confundir direta com inversa
Esse e o erro mais grave. Se voce identifica a proporcionalidade errada, a resposta sai completamente diferente.
Como evitar: sempre faca a pergunta-chave: "Se A aumentar, B aumenta ou diminui?" Se a resposta for "aumenta", e direta. Se for "diminui", e inversa. Nao confie na intuicao — teste sempre.
Erro 2: Multiplicar onde deveria dividir
Na inversa, o produto dos termos opostos e constante. Mas muita gente multiplica tudo e esquece de dividir.
Como evitar: lembre-se da formula: x = (produto dos termos correspondentes) / (termo restante). Sempre tem uma divisao no final.
Erro 3: Trocar o numerador pelo denominador
Quando separamos os dados em linhas, e facil trocar qual valor fica em cima e qual fica embaixo.
Como evitar: monte sempre a tabela com o valor procurado sozinho na linha de baixo. Os dados conhecidos ficam todos na linha de cima.
Erro 4: Nao converter unidades
Quando as unidades estao diferentes (metros e centimetros, horas e minutos), e obrigatorio converter antes de montar.
Como evitar: antes de montar a proporcao, verifique se todas as grandezas estao na mesma unidade. Se nao estiverem, converta primeiro.
Erro 5: Ignorar a inversa disfarcada
Questoes que envolvem "capacidade", "velocidade" ou "producao" muitas vezes sao inversas, mas parecem diretas na hora da prova.
Como evitar: se a grandeza for uma "taxa" ou "razao" (producao por hora, distancia por litro, pecas por maquina), pense duas vezes antes de assumir que e direta. Teste a logica: "se aumentar a taxa, o tempo diminui?"
Pratique agora — Exercicios de Regra de Tres
Bora testar? Clica na alternativa certa e veja se acertou. Cada exercicio tem uma explicacao.
1. Se 4 lapis custam R$ 6,00, quanto custam 7 lapis?
2. Se 6 operarios fazem um trabalho em 12 dias, em quantos dias 9 operarios farao?
3. Um carro percorre 120 km em 2 horas. Que distancia percorreria em 5 horas?
4. Uma receita serve 8 pessoas com 5 ovos. Para 12 pessoas, quantos ovos preciso?
5. 3 torneiras enchem um tanque em 10 horas. Em quantas horas 5 torneiras enchem?
6. Se 3 metros de fita custam R$ 9,00, quanto custam 1,5 metros?
7. 5 maquinas produzem 150 pecas em 3 horas. Quantas pecas 10 maquinas produzem em 4 horas?
8. Um caminhao de 8 toneladas faz 6 viagens. Quantas viagens farao 3 caminhoes de 10 toneladas?
9. 2/5 de um deposito contem 400 litros. Quantos litros tem o deposito todo?
10. 12 pedreiros trabalhando 8 horas por dia constroem um muro em 10 dias. Em quantos dias 16 pedreiros trabalhando 6 horas por dia constroem?
Continue estudando
Agora que voce domina regra de tres, avance pros proximos topicos:
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"Reprovar aluno no Fundamental 1 ajuda ou afunda a criança?"
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