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30 Exercicios de MDC e MMC Resolvidos

30 exercicios de MDC e MMC resolvidos passo a passo: exercicios de MDC, exercicios de MMC, maximo divisor comum, minimo multiplo comum, divisibilidade exercicios, numeros primos exercicios, fatoracao em primos, regras de divisibilidade. Material completo para ENEM, concursos e vestibulares.

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Equipe CriarProvas📅 17/09/2026•⏱️ 24 min

Índice

  1. 1.Por que MDC e MMC importam nas provas?
  2. 2.Revisao rapida: regras essenciais
  3. 3.Exercicios 1 a 8: Divisibilidade
  4. 4.Exercicios 9 a 14: Primos e Fatoracao
  5. 5.Exercicios 15 a 22: MDC
  6. 6.Exercicios 23 a 28: MMC
  7. 7.Exercicios 29 e 30: Aplicacoes Reais
  8. 8.Gabarito Completo
  9. 9.Continue Estudando
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Exercicios de MDC e MMC 20 min de leitura Modulo: Aritmetica

30 Exercicios de MDC e MMC Resolvidos

Divisibilidade, Primos e Fatoracao — exercicios completos com resolucao passo a passo para dominar o maximo divisor comum e o minimo multiplo comum em provas do ENEM, concursos e vestibulares.

Indice

  • Por que MDC e MMC importam nas provas?
  • Revisao rapida: regras essenciais
  • Exercicios 1 a 8: Divisibilidade
  • Exercicios 9 a 14: Primos e Fatoracao
  • Exercicios 15 a 22: MDC
  • Exercicios 23 a 28: MMC
  • Exercicios 29 e 30: Aplicacoes Reais
  • Gabarito completo

Por que MDC e MMC importam nas provas?

MDC e MMC estao entre os temas mais cobrados de aritmetica em todo o Brasil. Aparecem no ENEM, em concursos publicos, em vestibulares de medicina e em praticamente toda prova de matematica do ensino medio. O motivo e simples: eles conectam varios conceitos fundamentais — divisibilidade, numeros primos, fatoracao em primos e operacoes com fracoes — em um unico tema coeso.

Quem domina MDC e MMC consegue resolver em segundos questoes que parecem complicadas na primeira vista. Sabe simplificar fracoes sem errar, sabe encontrar denominador comum pra somar expresses com diferentes divisores, e sabe resolver problemas praticos que exigem divisao igualitaria ou sincronizacao de ciclos. Na pratica, o MDC e a chave pra simplificar fracoes, e a relacao MDC(a,b) x MMC(a,b) = a x b resolve metade das provas de aritmetica que envolvem esses conceitos.

Este artigo reune 30 exercicios resolvidos passo a passo, organizados por tema, pra voce praticar desde o basico de divisibilidade ate problemas avancados de aplicacao. Cada exercicio tem o enunciado, a resolucao detalhada e uma explicacao do raciocinio por tras da resposta. Apos os exercicios, voce encontra o gabarito completo em formato de tabela pra conferir suas respostas rapidamente.

Se voce ainda nao domina o conteudo teorico, recomendo primeiro estudar a aula completa de MDC e MMC. Depois, volte aqui pra praticar. Se ja manja da teoria, va direto pros exercicios e teste seus conhecimentos.

Opiniao dos especialistas

"O MDC e a chave pra simplificar fracoes" — e impossivel resolver problemas de simplificacao sem saber calcular o MDC rapido. Quem nao domina isso perde tempo e erra em provas.

"A relacao MDC(a,b) x MMC(a,b) = a x b resolve metade das provas" — quando voce ja tem o MDC e precisa do MMC (ou vice-versa), essa formula elimina o trabalho de fatoracao e acelera o calculo enormemente.

Revisao rapida: regras essenciais

Antes de comecar os exercicios, vamos revisar as regras que voce precisa ter na ponta da lingua. Essas sao as ferramentas que vao aparecer em todos os 30 problemas.

Regras de divisibilidade

DivisorRegraExemplo
2Ultimo algarismo par (0, 2, 4, 6, 8)348 termina em 8, divisivei
3Soma dos algarismos e divisivei por 3267: 2+6+7=15, 15/3=5, Sim
4Ultimos dois algarismos divisiveis por 43.124: 24/4=6, Sim
5Ultimo algarismo 0 ou 5190 termina em 0, divisivei
6Divisivel por 2 e por 3 ao mesmo tempo48: par e soma=12, Sim
7Divisao direta (nao tem macete simples)91 / 7 = 13, divisivei
8Ultimos tres algarismos divisiveis por 85.120: 120/8=15, Sim
9Soma dos algarismos e divisivei por 9567: 5+6+7=18, 18/9=2, Sim
10Ultimo algarismo 0430 termina em 0, divisivei

Metodo de Euclides para MDC

Divida o maior numero pelo menor. Guarde o resto. Depois divida o divisor pelo resto. Continue ate o resto ser zero. O ultimo divisor usado e o MDC.

Exemplo: MDC(48, 36)

48 / 36 = 1, resto 12

36 / 12 = 3, resto 0

Resto zero. Ultimo divisor: 12. Logo, MDC(48, 36) = 12.

Formulas fundamentais

Relacao MDC e MMC

MDC(a, b) x MMC(a, b) = a x b

Para calcular MDC por fatoracao: pegue os fatores comuns com o menor exponente.

Para calcular MMC por fatoracao: pegue todos os fatores com o maior exponente.

Para simplificar a/b: divida numerador e denominador pelo MDC(a, b).

Exercicios 1 a 8: Divisibilidade

Esses exercicios testam seu conhecimento sobre regras de divisibilidade. Dominar essas regras e o primeiro passo pra resolver qualquer problema de MDC e MMC com rapidez. As regras de divisibilidade sao a base da aritmetica e aparecem em todo tipo de prova, desde o ENEM ate concursos para areas de exatas.

Exercicio 1

O numero 3.168 e divisivei por 2, 3, 4, 6, 8 e 9 ao mesmo tempo? Justifique usando regras de divisibilidade.

Resolucao:

Divisivel por 2? Ultimo algarismo e 8 (par). Sim.

Divisivel por 3? Soma: 3 + 1 + 6 + 8 = 18. 18 / 3 = 6. Sim.

Divisivel por 4? Ultimos dois: 68. 68 / 4 = 17. Sim.

Divisivel por 6? Como e divisivel por 2 e por 3, sim.

Divisivel por 8? Ultimos tres: 168. 168 / 8 = 21. Sim.

Divisivel por 9? Soma: 18. 18 / 9 = 2. Sim.

Resposta: 3.168 e divisivel por todos esses numeros: 2, 3, 4, 6, 8 e 9.

Por que isso importa: Quando um numero e divisivel por varios divisores, isso significa que e multiplo do MMC desses divisores. MMC(2,3,4,6,8,9) = 72. Logo 3.168 e multiplo de 72 (3.168 / 72 = 44). Isso mostra como as regras de divisibilidade se conectam com o conceito de MMC na pratica.

Exercicio 2

Qual dos numeros abaixo NAO e divisivel por 12? A) 144 B) 156 C) 168 D) 175 E) 180

Resolucao:

12 = 3 x 4. O numero precisa ser divisivel por 3 E por 4 ao mesmo tempo.

A) 144: Soma: 1+4+4=9 (div por 3). Ultimos dois: 44/4=11 (div por 4). Sim.

B) 156: Soma: 1+5+6=12 (div por 3). Ultimos dois: 56/4=14 (div por 4). Sim.

C) 168: Soma: 1+6+8=15 (div por 3). Ultimos dois: 68/4=17 (div por 4). Sim.

D) 175: Soma: 1+7+5=13 (NAO div por 3). Ja caiu. Nao e divisivei por 12.

E) 180: Soma: 1+8+0=9 (div por 3). Ultimos dois: 80/4=20 (div por 4). Sim.

Resposta: Alternativa D (175).

Dica: pra verificar se um numero e divisivei por um composto (como 12 = 3 x 4), verifique se e divisivel por cada fator primo. Se falhar em qualquer um, ja pode descartar. Essa estrategia acelera muito a resolucao em provas com multiplas alternativas.

Exercicio 3

Determine todos os divisores do numero 72 e verifique quantos deles sao divisiveis por 3.

Resolucao:

72 = 2^3 x 3^2

Divisiveis de 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

Total de divisiveis: 12.

Divisiveis por 3: 3, 6, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

Resposta: 72 tem 12 divisores, dos quais 8 sao divisiveis por 3.

Explicacao: O numero de divisores de N = p1^a x p2^b x p3^c... e (a+1)(b+1)(c+1)... Aqui: (3+1)(2+1) = 12 divisores. Para contar os divisiveis por 3, o fator 3 precisa aparecer com expoente maior ou igual a 1 na fatoracao do divisor.

Exercicio 4

Encontre um numero de 4 algarismos que seja divisivel por 2, por 3, por 5 e por 9 simultaneamente.

Resolucao:

Precisamos de um numero divisivel por 2, 3, 5 e 9.

MMC(2, 3, 5, 9): 2 e primo, 3 e primo, 5 e primo, 9 = 3^2. MMC = 2 x 3^2 x 5 = 90.

Logo o numero precisa ser multiplo de 90 e ter 4 algarismos.

O menor multiplo de 90 com 4 algarismos: 90 x 12 = 1.080.

Resposta: 1.080 (ou qualquer multiplo de 90 entre 1.000 e 9.999, como 1.170, 1.260, etc.).

Logica: Para ser divisivel por varios numeros, o numero precisa ser multiplo do MMC deles. MMC(2,3,5,9) = 90. O menor multiplo de 90 com 4 algarismos e 1.080. Isso ilustra como o MMC aparece naturalmente em problemas de divisibilidade.

Exercicio 5

Verifique se 7.623 e divisivei por 11 usando a regra da diferenca alternada dos algarismos.

Resolucao:

Algarismos nas posicoes impares (da direita pra esquerda, posicao 1, 3, 5...): 3, 2, 7

Soma impares: 3 + 2 + 7 = 12

Algarismos nas posicoes pares: 6

Soma pares: 6

Diferenca: 12 - 6 = 6

6 nao e divisivei por 11.

Resposta: 7.623 NAO e divisivei por 11.

Regra do 11: some os algarismos nas posicoes impares e pares separadamente. Se a diferenca for 0 ou divisivei por 11, o numero e divisivei por 11. Essa regra e um pouco trabalhosa mas cai em provas de concursos. Lembre-se de que 11 = 10 + 1, e por isso a alternancia funciona.

Exercicio 6

Qual e o menor numero natural, maior que 100, que e divisivel por 7 e por 11 ao mesmo tempo?

Resolucao:

Como 7 e 11 sao primos entre si (MDC = 1), MMC(7, 11) = 7 x 11 = 77.

Menor multiplo de 77 maior que 100: 77 x 2 = 154.

Resposta: 154.

Regra: Quando dois numeros sao coprimos (MDC = 1), o MMC deles e simplesmente o produto. Logo, 7 x 11 = 77, e o menor multiplo de 77 maior que 100 e 154. Esse tipo de raciocinio e essencial pra resolver problemas que pedem "menor numero divisivel por X e Y".

Exercicio 7

Se um numero termina em 5 e a soma de seus algarismos e divisivel por 3, ele e obrigatoriamente divisivel por qual numero?

Resolucao:

Termina em 5, divisivel por 5 (regra do 5).

Soma dos algarismos divisivei por 3, divisivel por 3 (regra do 3).

Como e divisivel por 3 e por 5 ao mesmo tempo, e divisivel por MMC(3, 5) = 15.

Resposta: O numero e obrigatoriamente divisivel por 15.

Conceito chave: Se um numero e divisivel por A e por B, e divisivel pelo MMC(A, B). Como MDC(3,5) = 1, MMC(3,5) = 15. Todo numero divisivel por 15 e divisivel por 3 e por 5. Essa e uma forma indireta de testar se o aluno entende a relacao entre divisibilidade e MMC.

Exercicio 8

Quantos numeros de 3 algarismos sao divisiveis por 4 e por 5 simultaneamente?

Resolucao:

MMC(4, 5) = 20. O numero precisa ser multiplo de 20.

Menor numero de 3 algarismos: 100. Menor multiplo de 20 maior ou igual a 100: 100.

Maior numero de 3 algarismos: 999. Maior multiplo de 20 menor ou igual a 999: 980.

Sequencia: 100, 120, 140, ..., 980.

Quantidade: (980 - 100) / 20 + 1 = 880 / 20 + 1 = 44 + 1 = 45.

Resposta: 45 numeros.

Metodo: para contar multiplos de um numero N em um intervalo [a, b], use: (maior multiplo - menor multiplo) / N + 1. Isso funciona porque os multiplos formam uma PA com razao N. Esse tipo de questao e classica em provas do ENEM e de concursos.

Exercicios 9 a 14: Primos e Fatoracao

Primos e fatoracao em primos sao a base pra calcular MDC e MMC. Esses exercicios vao treinar sua capacidade de decompor numeros e identificar primos. Sem dominar a fatoracao em primos, e impossivel calcular MDC e MMC por esse metodo — e sem o metodo de fatoracao, voce fica refem do metodo de Euclides ou da listagem de divisiveis, que nem sempre sao os mais praticos.

Exercicio 9

Fatore o numero 540 em fatores primos.

Resolucao:

540 / 2 = 270

270 / 2 = 135

135 / 3 = 45

45 / 3 = 15

15 / 3 = 5

5 / 5 = 1

Resposta: 540 = 2^2 x 3^3 x 5

Dica: sempre comece dividindo por 2. Quando o numero nao for mais par, va pro proximo primo (3, 5, 7, 11...). Continue ate chegar em 1. Esse procedimento sistematico garante que voce nao pule nenhum fator primo. A fatoracao de 540 mostra que ele possui muitos divisores justamente porque tem tres primos distintos como fatores.

Exercicio 10

O numero 51 e primo? Justifique. E o numero 91?

Resolucao:

Verificando 51: Raiz de 51 aproximadamente 7,14. Verificamos primos ate 7: 2, 3, 5, 7.

51 / 3 = 17 (inteiro!). 51 = 3 x 17. 51 NAO e primo.

Verificando 91: Raiz de 91 aproximadamente 9,54. Verificamos: 2, 3, 5, 7.

91 / 7 = 13 (inteiro!). 91 = 7 x 13. 91 NAO e primo.

Resposta: Ambos NAO sao primos. 51 = 3 x 17 e 91 = 7 x 13.

Alerta: 51 e 91 sao os numeros que mais enganam em provas. Parecem primos, mas nao sao. Memorize: 51 = 3 x 17 e 91 = 7 x 13. Essa armadilha cai o tempo todo em provas do ENEM e de concursos. Outros numeros pseudo-primos comuns: 93 = 3 x 31, 87 = 3 x 29, 111 = 3 x 37.

Exercicio 11

Quantos numeros primos existem entre 50 e 100?

Resolucao:

Primos entre 50 e 100: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Resposta: 10 numeros primos.

Metodo: pra verificar se um numero entre 50 e 100 e primo, basta testar divisao por primos ate a raiz quadrada (ate 9). Os primos a testar sao: 2, 3, 5, 7. Se nao for divisivel por nenhum deles, e primo. Isso funciona porque todo numero composto tem pelo menos um fator primo menor ou igual a sua raiz quadrada. Esse metodo e uma aplicacao pratica do crivo de Eratosthenes.

Exercicio 12

Escreva o numero 1.260 como produto de fatores primos em notacao exponencial.

Resolucao:

1.260 / 2 = 630

630 / 2 = 315

315 / 3 = 105

105 / 3 = 35

35 / 5 = 7

7 / 7 = 1

Resposta: 1.260 = 2^2 x 3^2 x 5 x 7

Verificacao: 2^2 x 3^2 x 5 x 7 = 4 x 9 x 5 x 7 = 36 x 35 = 1.260. Correto! Sempre verifique multiplicando os fatores de volta. A fatoracao correta de 1.260 e essencial pra calcular MDC e MMC com esse numero. Esse tipo de exercicio aparece constantemente em provas que pedem o numero de divisores.

Exercicio 13

Qual o menor numero primo que divide 385? E qual o maior?

Resolucao:

Fatorando 385:

385 / 5 = 77 (termina em 5, divisivel por 5)

77 / 7 = 11

11 / 11 = 1

385 = 5 x 7 x 11

Resposta: Menor primo: 5. Maior primo: 11.

Observacao: 385 termina em 5, entao ja sabemos que 5 e divisor. Nao se esqueca de testar 2 e 3 antes. 385 nao e par (nao div por 2). Soma: 3+8+5=16 (nao div por 3). Proximo teste: 5. A fatoracao completa mostra que 385 = 5 x 7 x 11, tres primos distintos, o que significa que tem 8 divisores positivos.

Exercicio 14

Um numero tem fatoracao em primos dada por 2^3 x 3^2 x 7. Quantos divisores positivos esse numero tem?

Resolucao:

O numero de divisores e dado pelo produto dos exponentes incrementados de 1.

Exponentes: 3, 2 e 1 (do 7 = 7^1).

Quantidade de divisores: (3+1) x (2+1) x (1+1) = 4 x 3 x 2 = 24.

Resposta: 24 divisores positivos.

Formula: se N = p1^a x p2^b x p3^c..., o numero de divisores positivos de N e (a+1)(b+1)(c+1)... Cada expoente e incrementado em 1 e os resultados sao multiplicados entre si. Esse conceito e muito cobrado em provas e esta diretamente ligado a fatoracao em primos. Quanto mais primos distintos aparecem na fatoracao, mais divisores o numero tem.

Exercicios 15 a 22: MDC

O MDC (Maximo Divisor Comum) e uma das operacoes mais importantes da aritmetica. Esses exercicios cobrem os tres metodos de calculo — fatoracao em primos, metodo de Euclides e listagem de divisiveis — e tambem aplicacoes praticas como simplificacao de fracoes. O MDC e a chave pra simplificar fracoes rapidamente.

Exercicio 15

Calcule o MDC de 84 e 120 usando o metodo de fatoracao em primos.

Resolucao:

84 = 2^2 x 3 x 7

120 = 2^3 x 3 x 5

Fatores comuns: 2 e 3.

Menores exponentes: 2^2 e 3^1.

MDC = 2^2 x 3 = 4 x 3 = 12

Resposta: MDC(84, 120) = 12.

Metodo: faca a fatoracao em primos de cada numero. Pegue apenas os fatores que aparecem em AMBOS (comuns) e, para cada um, escolha o MENOR exponente. Nao inclua fatores que aparecem em apenas um dos numeros. O 7 aparece so no 84 e o 5 so no 120, por isso nao entram no MDC.

Exercicio 16

Calcule o MDC de 252 e 180 usando o metodo de Euclides (divisoes sucessivas).

Resolucao:

252 / 180 = 1, resto 72

180 / 72 = 2, resto 36

72 / 36 = 2, resto 0

Resto zero! O ultimo divisor foi 36.

Resposta: MDC(252, 180) = 36.

Vantagem: o metodo de Euclides nao precisa de fatoracao. Funciona especialmente bem pra numeros grandes onde a decomposicao em primos e trabalhosa. Basta dividir repetidamente e acompanhar os restos. O MDC e sempre o ultimo divisor antes do resto zero.

Exercicio 17

Calcule o MDC de 135 e 75 pelo metodo de Euclides.

Resolucao:

135 / 75 = 1, resto 60

75 / 60 = 1, resto 15

60 / 15 = 4, resto 0

Resposta: MDC(135, 75) = 15.

Verificacao: 135 / 15 = 9 e 75 / 15 = 5. Ambos sao divisoes inteiras, e MDC(9, 5) = 1 (coprimos). Isso confirma que 15 e realmente o maior divisor comum. O metodo de Euclides funciona porque MDC(a, b) = MDC(b, a mod b).

Exercicio 18

Simplifique a fracao 156/204 ao maximo.

Resolucao:

Passo 1: Fatorar 156 e 204.

156 = 2^2 x 3 x 13

204 = 2^2 x 3 x 17

Passo 2: MDC(156, 204) = 2^2 x 3 = 12.

Passo 3: Dividir: 156/12 = 13 e 204/12 = 17.

Resposta: 156/204 = 13/17 (fracao irredutivel).

Por que funciona: simplificar uma fracao e dividir numerador e denominador pelo MDC. Como MDC(13, 17) = 1 (sao primos entre si), a fracao 13/17 ja esta irredutivel. O MDC e a ferramenta essencial pra qualquer simplificacao de fracao.

Exercicio 19

Calcule o MDC de 60, 84 e 120.

Resolucao:

60 = 2^2 x 3 x 5

84 = 2^2 x 3 x 7

120 = 2^3 x 3 x 5

Fatores comuns a TODOS: 2 e 3.

Menores exponentes: 2^2 e 3^1.

MDC = 4 x 3 = 12

Resposta: MDC(60, 84, 120) = 12.

Cuidado: para tres ou mais numeros, o fator precisa aparecer em TODOS para entrar no MDC. O 5 aparece em 60 e 120 mas NAO em 84, por isso nao entra. O 7 aparece so no 84. Apenas 2 e 3 aparecem nos tres numeros.

Exercicio 20

Se MDC(a, b) = 8 e a x b = 320, qual e o MMC(a, b)?

Resolucao:

Usando a relacao: MDC(a,b) x MMC(a,b) = a x b

8 x MMC(a,b) = 320

MMC(a,b) = 320 / 8 = 40

Resposta: MMC(a, b) = 40.

Formula fundamental: MDC(a,b) x MMC(a,b) = a x b. Essa relacao e extremamente util em provas. Quando voce ja sabe o MDC e precisa do MMC, basta dividir o produto dos numeros pelo MDC. Isso resolve metade das provas de aritmetica que envolvem MDC e MMC.

Exercicio 21

Um professor tem 180 cadernos e 240 canetas. Quer montar kits com o mesmo numero de cada item, sem sobrar nada. Quantos kits no maximo ele pode montar?

Resolucao:

Precisamos do MDC de 180 e 240.

180 = 2^2 x 3^2 x 5

240 = 2^4 x 3 x 5

Fatores comuns: 2^2, 3^1, 5^1.

MDC = 4 x 3 x 5 = 60

Resposta: 60 kits. Cada kit tera 3 cadernos e 4 canetas.

Aplicacao: quando voce quer dividir coisas igualmente entre grupos, o MDC e a resposta. Esse tipo de problema cai muito em provas praticas. Note que 60 kits de 3 cadernos = 180 cadernos e 60 kits de 4 canetas = 240 canetas. Tudo foi distribuido sem sobrar nada.

Exercicio 22

Qual o maior numero inteiro que divide 96 e 144 sem deixar resto?

Resolucao:

Usando o metodo de Euclides:

144 / 96 = 1, resto 48

96 / 48 = 2, resto 0

Resposta: MDC(96, 144) = 48.

Verificacao pela fatoracao: 96 = 2^5 x 3 e 144 = 2^4 x 3^2. Fatores comuns: 2^4 e 3^1. MDC = 16 x 3 = 48. Ambos os metodos dao o mesmo resultado, o que confirma a resposta. O metodo de Euclides foi mais rapido nesse caso.

Exercicios 23 a 28: MMC

O MMC (Minimo Multiplo Comum) e essencial pra somar fracoes com denominadores diferentes e pra resolver problemas de sincronizacao de ciclos. Esses exercicios vao praticar os tres metodos de calculo e aplicacoes reais do MMC.

Exercicio 23

Calcule o MMC de 12 e 18 usando o metodo de fatoracao em primos.

Resolucao:

12 = 2^2 x 3

18 = 2 x 3^2

Todos os fatores com maiores exponentes: 2^2 e 3^2.

MMC = 4 x 9 = 36

Resposta: MMC(12, 18) = 36.

Metodo: faca a fatoracao em primos de cada numero. Pegue TODOS os fatores que aparecem em pelo menos um dos numeros (nao apenas os comuns) e, para cada um, escolha o MAIOR exponente. O 2 aparece com expoente 2 no 12 e 1 no 18, entao pegamos 2^2. O 3 aparece com expoente 1 no 12 e 2 no 18, entao pegamos 3^2.

Exercicio 24

Calcule o MMC de 6, 8 e 12.

Resolucao:

6 = 2 x 3

8 = 2^3

12 = 2^2 x 3

Fatores: 2 e 3. Maiores exponentes: 2^3 e 3^1.

MMC = 8 x 3 = 24

Resposta: MMC(6, 8, 12) = 24.

Para tres numeros: o metodo de fatoracao funciona da mesma forma. Pegue todos os fatores de todos os numeros e, para cada fator, escolha o maior expoente. O 2 aparece nos tres numeros, mas com maior expoente 3 (do 8). O 3 aparece no 6 e no 12, com maior expoente 1.

Exercicio 25

Calcule o MMC de 12 e 18 usando a formula com o MDC.

Resolucao:

MDC(12, 18) = 6 (ja calculamos antes)

MMC = (12 x 18) / MDC = 216 / 6 = 36

Resposta: MMC(12, 18) = 36.

Metodo alternativo: a formula MMC(a,b) = (a x b) / MDC(a,b) e mais rapida quando voce ja sabe o MDC. Especialmente util em provas cronometradas. Note que o resultado e identico ao exercicio 23 — isso confirma que ambos os metodos estao corretos.

Exercicio 26

Dois semaforos num cruzamento piscam a cada 40 segundos e a cada 60 segundos. Se ambos piscaram agora, quando piscarao juntos de novo?

Resolucao:

Precisamos do MMC de 40 e 60.

40 = 2^3 x 5

60 = 2^2 x 3 x 5

MMC = 2^3 x 3 x 5 = 120

Resposta: 120 segundos = 2 minutos.

Aplicacao classica: problemas de sincronizacao (semaforos, alarmes, trens, maquinas) sempre usam MMC. O MMC indica quando dois ciclos se encontram novamente. Esse tipo de questao cai muito em provas do ENEM e de concursos publicos.

Exercicio 27

Qual e o menor numero inteiro positivo que e divisivei por 2, 3, 4, 5 e 6 ao mesmo tempo?

Resolucao:

Precisamos do MMC de 2, 3, 4, 5 e 6.

2 = 2

3 = 3

4 = 2^2

5 = 5

6 = 2 x 3

MMC = 2^2 x 3 x 5 = 60

Resposta: 60.

Interpretacao: "menor numero divisivel por varios divisores" e a definicao de MMC. O MMC e sempre o menor numero que contem todos os divisores como fatores. 60 e o menor numero que e multiplo de 2, 3, 4, 5 e 6 simultaneamente.

Exercicio 28

Para somar 1/3 + 1/4 + 1/5, qual e o MMC dos denominadores 3, 4 e 5?

Resolucao:

3 = 3

4 = 2^2

5 = 5

Como 3, 4 e 5 nao tem fatores em comum, o MMC e o produto: 3 x 4 x 5 = 60.

Convertendo: 1/3 = 20/60, 1/4 = 15/60, 1/5 = 12/60.

Soma: 20/60 + 15/60 + 12/60 = 47/60.

Resposta: MMC = 60. Soma = 47/60.

Aplicacao: quando os denominadores sao coprimos entre si, o MMC e simplesmente o produto. Isso facilita muito o calculo. Sempre verifique se ha fatores em comum antes de multiplicar tudo.

Exercicios 29 e 30: Aplicacoes Reais

Esses exercicios combinam MDC e MMC em problemas do cotidiano, o tipo de questao que mais aparece em provas do ENEM e de concursos. E aqui que voce ve na pratica porque o MDC e a chave pra simplificar fracoes e por que a relacao MDC(a,b) x MMC(a,b) = a x b resolve metade das provas.

Exercicio 29

Um jardineiro tem 36 roseiras e 48 hortensias. Ele quer plantar fileiras com o mesmo numero de cada flor, sem sobrar nenhuma. Qual o maior numero de fileiras possivel? Em cada fileira, quantas roseiras e quantas hortensias haverá?

Resolucao:

Precisamos do MDC de 36 e 48.

36 = 2^2 x 3^2

48 = 2^4 x 3

Fatores comuns: 2^2 e 3.

MDC = 4 x 3 = 12

Resposta: 12 fileiras.

Roseiras por fileira: 36 / 12 = 3 roseiras.

Hortensias por fileira: 48 / 12 = 4 hortensias.

Verificacao: 12 x 3 = 36 roseiras e 12 x 4 = 48 hortensias. Tudo distribuido sem sobrar nada.

Aplicacao pratica: quando voce quer dividir coisas igualmente em grupos e nao pode sobrar nada, o MDC e a resposta. Esse tipo de problema e classico em provas e aparece com variacoes: canetas e lapis, cadernos e livros, laranjas e macas, etc. A logica e sempre a mesma.

Exercicio 30

Dois trens partem da mesma estacao ao mesmo tempo. Um passa pela proxima estacao a cada 12 minutos e outro a cada 18 minutos. Depois de quantos minutos os dois trens estarao novamente na mesma estacao ao mesmo tempo? E se voce quer saber em quantas estacoes isso vai acontecer nas proximas 3 horas?

Resolucao:

Parte 1: MMC de 12 e 18.

12 = 2^2 x 3

18 = 2 x 3^2

MMC = 2^2 x 3^2 = 4 x 9 = 36

Resposta 1: 36 minutos.

Parte 2: em 3 horas = 180 minutos, quantas vezes se encontram?

180 / 36 = 5 vezes.

Resposta 2: 5 encontros (aos 36, 72, 108, 144 e 180 minutos).

Aplicacao completa: esse problema combina MMC com divisao simples. O MMC indica quando os ciclos se sincronizam, e a divisao total pelo MMC indica quantas sincronizacoes ocorrem num periodo. Esse tipo de questao e cobrado em provas do ENEM, vestibulares e concursos, e demonstra a versatilidade do MMC em problemas praticos.

Gabarito Completo

Confira suas respostas na tabela abaixo. Cada exercicio esta numerado e tem a resposta resumida.

ExercicioTemaResposta
1DivisibilidadeSim, divisivel por todos (2, 3, 4, 6, 8, 9)
2DivisibilidadeAlternativa D (175)
3Divisibilidade12 divisores, 8 divisiveis por 3
4Divisibilidade1.080
5DivisibilidadeNAO e divisivei por 11
6Divisibilidade154
7DivisibilidadeDivisivel por 15
8Divisibilidade45 numeros
9Primos e Fatoracao540 = 2^2 x 3^3 x 5
10Primos e FatoracaoAmbos NAO sao primos (51 = 3x17, 91 = 7x13)
11Primos e Fatoracao10 primos entre 50 e 100
12Primos e Fatoracao1.260 = 2^2 x 3^2 x 5 x 7
13Primos e FatoracaoMenor: 5, Maior: 11
14Primos e Fatoracao24 divisores positivos
15MDCMDC(84, 120) = 12
16MDCMDC(252, 180) = 36
17MDCMDC(135, 75) = 15
18MDC156/204 = 13/17
19MDCMDC(60, 84, 120) = 12
20MDCMMC(a, b) = 40
21MDC60 kits
22MDCMDC(96, 144) = 48
23MMCMMC(12, 18) = 36
24MMCMMC(6, 8, 12) = 24
25MMCMMC(12, 18) = 36
26MMC120 segundos = 2 minutos
27MMC60
28MMCMMC = 60, Soma = 47/60
29Aplicacoes12 fileiras (3 roseiras e 4 hortensias cada)
30Aplicacoes36 minutos; 5 encontros em 3 horas

Erro classico: confundir quando usar MDC e quando usar MMC. Lembre-se: MDC e pra quando voce quer DIVIDIR igualmente (dividir coisas em grupos). MMC e pra quando voce quer SINCRONIZAR (achar quando dois ciclos se encontram) ou achar DENOMINADOR COMUM pra somar fracoes. Se a pergunta fala em "maior numero que divide", e MDC. Se fala em "menor numero que e multiplo", e MMC.

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