50 Exercicios de Funcoes Resolvidos
50 exercicios resolvidos de funcoes matematicas: funcao afim, quadratica, exponencial e logaritmica. Solucoes detalhadas passo a passo com gabarito completo. Exercicios para ENEM, concursos e vestibulares 2026.
50 Exercicios de Funcoes Resolvidos
Exercicios completos de funcao afim, quadratica, exponencial e logaritmica com solucoes detalhadas passo a passo. Gabarito completo e erros comuns incluidos. Ideal para ENEM, concursos e vestibulares.
Por que praticar exercicios de funcoes?
Funcoes sao o tema mais cobrado em provas de matematica no Brasil. Segundo analises de provas do ENEM dos ultimos 15 anos, questoes envolvendo funcoes aparecem todos os anos e somam em media 5 a 8 questoes por edicao, tornando-se o assunto com maior peso absoluto dentro da area de matematica e Naturezas Tecnologicas. Dominar funcoes afim, quadratica, exponencial e logaritmica nao e apenas importante para tirar uma boa nota — e absolutamente essencial para quem quer passar em qualquer concurso publico, vestibular ou no proprio ENEM.
Funcoes conectam praticamente todos os outros topicos de matematica. Ao estudar algebra, geometria analitica, trigonometria, estatistica e ate calculo, voce sempre volta as funcoes. A capacidade de interpretar um enunciado, modela-lo com uma funcao, analisar seu comportamento grafico e extrair informacoes e a habilidade mais valiosa que um candidato pode ter em uma prova objetiva. E exatamente por isso que separamos 50 exercicios completos, cobrindo todos os tipos de funcoes que aparecem com mais frequencia nas provas.
Este guia foi cuidadosamente elaborado para oferecer uma progressao natural de dificuldade. Comecamos pela funcao afim, que e a mais simples e serve de base para todas as outras. Depois avancamos para a funcao quadratica, que exige mais raciocinio com o calculo de vertice, delta e raizes. Em seguida, trabalhamos com funcoes exponenciais e logaritmicas, que sao frequentemente confundidas pelos alunos mas aparecem em questoes de alto coeficiente de dificuldade. Tambem incluimos exercicios de leitura de graficos e problemas aplicados ao cotidiano, que sao a marca registrada do ENEM.
Estrategia de estudo
Resolva os exercicios sem olhar a resposta. Anote sua resposta e depois compare com o gabarito. Quando errar, leia atentamente a explicacao passo a passo e anote o erro para nao repeti-lo. Repita os exercicios que errou ate acertar com seguranca. A repeticao espacada e a chave para fixar o conteudo.
Cada um dos 50 exercicios desta pagina acompanha uma solucao detalhada passo a passo, uma explicacao do raciocinio por tras da resolucao e uma dica practica para evitar erros comuns. Ao final da pagina voce encontrara o gabarito completo em tabela, uma secao de erros comuns que voce deve evitar, um quiz interativo para testar seus conhecimentos e links para todos os conteudos teoricos relacionados. Dedique tempo suficiente para resolver cada exercicio com atencao — a qualidade do estudo e mais importante que a quantidade.
Atencao: Nao pule direto para a resolucao! O aprendizado efetivo acontece quando voce tenta resolver o exercicio primeiro por conta propria. Apenas consulte a solucao apos esgotar seus proprios recursos. Isso ativa processos cognitivos de recuperacao que fortalecem a memoria de longo prazo.
Formulas de Referencia
Antes de comecar os exercicios, revise as formulas fundamentais de cada tipo de funcao. Manter essas formulas em mente durante a resolucao dos exercicios aumenta significativamente sua eficiencia e precisao. Estude com calma cada uma delas e certifique-se de que compreende o significado de cada variavel e constante.
Funcao Afim
f(x) = ax + b, onde a e o coeficiente angular (inclinacao da reta) e b e o coeficiente linear (corte no eixo Y). Coeficiente angular entre dois pontos: a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Retas paralelas: a₁ = a₂. Retas perpendiculares: a₁ · a₂ = -1. A funcao afim e crescente quando a > 0, decrescente quando a < 0 e constante quando a = 0.
Funcao Quadratica
f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Delta: Δ = b² - 4ac. Raizes: x = (-b ± √Δ) / 2a. Vertice: x = -b/(2a) (absissa), y = f(x) (ordenada). Relacoes de Vieta: x₁ + x₂ = -b/a e x₁ · x₂ = c/a. Eixo de simetria: x = -b/(2a).
Funcao Exponencial
f(x) = a · bˣ, com a > 0 e b > 0, b ≠ 1. Se b > 1: crescente. Se 0 < b < 1: decrescente. Sempre passa por (0, a). Assintota horizontal: y = 0 (ou y = k se deslocada). Potencias: bᵐ · bⁿ = b^(m+n), bᵐ / bⁿ = b^(m-n), (bᵐ)ⁿ = b^(m·n).
Funcao Logaritmica
f(x) = log_b(x), com b > 0, b ≠ 1 e x > 0. Inversa da exponencial. Propriedades: log_b(1) = 0, log_b(b) = 1, log_b(bˣ) = x. Soma: log_b(m) + log_b(n) = log_b(m·n). Subtracao: log_b(m) - log_b(n) = log_b(m/n). Expoente: log_b(mⁿ) = n · log_b(m). Mudanca de base: log_b(x) = log_c(x) / log_c(b).
Funcao Afim (Exercicios 1 a 10)
A funcao afim e a funcao de primeiro grau, representada por f(x) = ax + b, onde a e o coeficiente angular e b e o coeficiente linear. O coeficiente angular determina a inclinacao da reta: quando a > 0 a reta e crescente, quando a < 0 a reta e decrescente e quando a = 0 a funcao e constante. O coeficiente linear indica o ponto onde a reta corta o eixo Y, ou seja, o ponto (0, b). A funcao afim e a base para entender todos os outros tipos de funcoes. Para mais detalhes teoricos, acesse nossa pagina sobre Funcao Afim.
Exercicio 1
Enunciado: Qual e o coeficiente angular da funcao f(x) = 4x - 7?
Solucao passo a passo:
- A forma geral da funcao afim e f(x) = ax + b.
- Comparando f(x) = 4x - 7 com a forma geral, identificamos a = 4 e b = -7.
- O coeficiente angular e o valor que multiplica a variavel x.
Resposta: O coeficiente angular e a = 4.
Explicacao: O coeficiente angular indica a inclinacao da reta no plano cartesiano. Como a = 4 > 0, a reta e crescente — ou seja, conforme x aumenta, f(x) tambem aumenta. Para cada 1 unidade que x avanca, f(x) avanca 4 unidades. Esse valor e o que determina a Steepness (inclinacao) da reta no grafico.
Dica: Sempre identifique o sinal de a antes de dizer se a reta e crescente ou decrescente. O erro mais comum e confundir o sinal de a com o de b.
Exercicio 2
Enunciado: Em qual ponto a funcao f(x) = -3x + 6 corta o eixo Y?
Solucao passo a passo:
- O corte no eixo Y ocorre quando x = 0 (propriedade fundamental).
- Substituimos: f(0) = -3(0) + 6 = 0 + 6 = 6.
- O ponto de intersecao com o eixo Y e (0, 6).
Resposta: (0, 6).
Explicacao: O coeficiente linear b = 6 indica exatamente o ponto onde a reta cruza o eixo Y. Em qualquer funcao afim f(x) = ax + b, o corte com o eixo Y e sempre (0, b). Isso acontece porque, ao substituir x = 0, o termo ax se anula e sobra apenas b.
Dica: Para encontrar o corte com o eixo Y, basta olhar o valor de b na forma f(x) = ax + b. Nao precisa calcular se ja identificou o coeficiente linear.
Exercicio 3
Enunciado: Em qual ponto a funcao f(x) = 2x - 10 corta o eixo X?
Solucao passo a passo:
- O corte no eixo X ocorre quando f(x) = 0.
- Igualamos a zero: 2x - 10 = 0.
- Isolamos o termo com x: 2x = 10.
- Dividimos: x = 10 / 2 = 5.
- O ponto e (5, 0).
Resposta: (5, 0).
Explicacao: Para encontrar a raiz (zero) de uma funcao afim, basta resolver a equacao de primeiro grau ax + b = 0. A solucao e sempre x = -b/a. Neste caso, x = -(-10)/2 = 10/2 = 5. Esse ponto representa onde a reta intercepta o eixo X, e e fundamental para desenhar o grafico.
Dica: O corte com o eixo X e a raiz da equacao. Em provas, frequentemente pedem a raiz ou o zero da funcao — sao sinônimos.
Exercicio 4
Enunciado: Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (1, 4) e (3, 10).
Solucao passo a passo:
- A formula do coeficiente angular entre dois pontos e: a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).
- Identificamos: (x₁, y₁) = (1, 4) e (x₂, y₂) = (3, 10).
- Substituindo: a = (10 - 4)/(3 - 1) = 6/2 = 3.
Resposta: a = 3.
Explicacao: O coeficiente angular representa a taxa de variacao da reta. Neste caso, para cada 1 unidade que x avanca de 1 para 3 (diferenca de 2), y avanca de 4 para 10 (diferenca de 6). A taxa e 6/2 = 3 unidades de y para cada 1 unidade de x. A reta e crescente e relativamente inclinada.
Dica: Nao importa qual ponto voce escolhe como (x₁, y₁) e qual como (x₂, y₂). O resultado sera sempre o mesmo, desde que voce seja consistente na substituicao.
Exercicio 5
Enunciado: Uma reta passa pelo ponto (2, 5) e tem coeficiente angular a = 3. Qual e a equacao da reta?
Solucao passo a passo:
- Sabemos que a = 3 e a reta passa por (2, 5).
- Usamos a forma y = ax + b para encontrar b.
- Substituindo x = 2 e y = 5: 5 = 3(2) + b.
- Calculamos: 5 = 6 + b.
- Isolamos b: b = 5 - 6 = -1.
- A equacao e f(x) = 3x - 1.
Resposta: f(x) = 3x - 1.
Explicacao: Para encontrar a equacao completa de uma reta, voce precisa de um coeficiente angular (a) e de um ponto por onde ela passa. Substituindo os valores do ponto na equacao y = ax + b, voce consegue isolar b. Esse processo e fundamental e aparece constantemente em provas do ENEM e concursos.
Dica: Verifique sua resposta substituindo o ponto original na equacao encontrada. Se 3(2) - 1 = 5, a resposta esta correta.
Exercicio 6
Enunciado: Qual das funcoes abaixo e paralela a f(x) = -2x + 4?
Solucao passo a passo:
- Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular (a) e coeficientes lineares (b) diferentes.
- A funcao original tem a = -2.
- Procuramos uma funcao com a = -2 e b diferente de 4.
- Uma opcao valida seria g(x) = -2x + 7.
Resposta: g(x) = -2x + 7 (ou qualquer outra com a = -2 e b ≠ 4).
Explicacao: Retas paralelas nunca se encontram e possuem exatamente a mesma inclinacao. Portanto, qualquer funcao com o mesmo coeficiente angular sera paralela. Se tivessem o mesmo a e o mesmo b, seriam a mesma reta, nao apenas paralelas. A condicao e: mesmo a, b diferente.
Dica: Se o enunciado der multiplas opcoes, identifique qual tem o mesmo coeficiente angular. E so comparar o numero que multiplica x.
Exercicio 7
Enunciado: Qual e o coeficiente angular de uma reta perpendicular a f(x) = (1/2)x + 3?
Solucao passo a passo:
- A condicao de perpendiculdade entre duas retas e: a₁ · a₂ = -1.
- Aqui, a₁ = 1/2.
- Resolvendo: (1/2) · a₂ = -1.
- Isolamos a₂: a₂ = -1 ÷ (1/2) = -1 · 2 = -2.
- Uma reta perpendicular seria g(x) = -2x + b, para qualquer valor de b.
Resposta: a₂ = -2.
Explicacao: Quando duas retas sao perpendiculares, os seus coeficientes angulares multiplicados dao -1. Isso significa que se uma reta sobe devagar com a = 1/2, a perpendicular desce rapido com a = -2. A reta perpendicular sempre forma um angulo de 90 graus com a reta original.
Dica: Se a primeira reta for horizontal (a = 0), a perpendicular sera vertical (eixo X), e vice-versa. Nesses casos, nao e possivel representar a reta perpendicular como funcao afim.
Exercicio 8
Enunciado: Um taxi cobra uma taxa fixa de R$ 4,00 mais R$ 2,00 por km percorrido. Qual e o custo total para uma corrida de 15 km?
Solucao passo a passo:
- A funcao do custo total e: C(x) = 2x + 4, onde x e a quantidade de km.
- Substituindo x = 15: C(15) = 2(15) + 4.
- Calculamos: 2(15) = 30 e 30 + 4 = 34.
- O custo total e R$ 34,00.
Resposta: R$ 34,00.
Explicacao: Esse e um exemplo classico de funcao afim aplicada ao cotidiano. A taxa fixa de R$ 4,00 e o coeficiente linear (b = 4) — e o valor cobrado mesmo que o passageiro nao percorra nenhum km. O valor por km e o coeficiente angular (a = 2) — e a taxa variavel que depende da distancia percorrida.
Dica: Em problemas reais, identifique qual parte e fixa (b) e qual parte e variavel (a). A soma dessas duas partes forma a funcao afim do custo total.
Exercicio 9
Enunciado: A formula para converter Celsius em Fahrenheit e F = 1,8C + 32. Se a temperatura em Fahrenheit for 122°F, qual e a temperatura em Celsius?
Solucao passo a passo:
- Substituimos F = 122 na equacao: 122 = 1,8C + 32.
- Subtraimos 32 dos dois lados: 122 - 32 = 1,8C.
- Calculamos: 90 = 1,8C.
- Dividimos por 1,8: C = 90 / 1,8 = 50.
- A temperatura e 50 graus Celsius.
Resposta: 50°C.
Explicacao: A relacao entre Celsius e Fahrenheit e uma funcao afim do tipo y = mx + n, onde m = 1,8 (ou 9/5) e n = 32. Para converter no sentido contrario, basta isolar C na equacao. Esse tipo de conversao aparece muito em provas de concursos e vestibulares, especialmente em questoes que envolvem temperaturas.
Dica: Para converter Fahrenheit para Celsius, use a formula inversa: C = (F - 32) / 1,8. Memorize ambos os sentidos para ganhar tempo na prova.
Exercicio 10
Enunciado: Considere as duas funcoes f(x) = 2x + 1 e g(x) = 2x - 5. As retas representadas por essas funcoes sao paralelas, perpendiculares ou nenhuma das alternativas?
Solucao passo a passo:
- Identificamos os coeficientes angulares: f(x) tem a = 2 e g(x) tem a = 2.
- Os coeficientes angulares sao iguais (a₁ = a₂ = 2).
- Os coeficientes lineares sao diferentes (b₁ = 1, b₂ = -5).
- Conclusao: retas com mesmo coeficiente angular e coeficiente linear diferente sao paralelas.
Resposta: Paralelas.
Explicacao: Retas paralelas tem a mesma inclinacao mas nunca se cruzam. Para que fossem a mesma reta, precisariam ter tanto a quanto b iguais. Para serem perpendiculares, precisariam satisfazer a₁ · a₂ = -1, o que nao ocorre aqui pois 2 · 2 = 4 ≠ -1.
Dica: Sempre compare os coeficientes angulares primeiro. Se sao iguais e os lineares sao diferentes, sao paralelas. Se sao iguais e os lineares tambem, sao a mesma reta.
Funcao Quadratica (Exercicios 11 a 20)
A funcao quadratica tem a forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Seu grafico e uma parabola, uma curva simetrica com um ponto extremo chamado vertice. O vertice e o ponto de maximo (quando a < 0, parabola abre para baixo) ou minimo (quando a > 0, parabola abre para cima) da funcao. O delta (Δ = b² - 4ac) e o discriminante que indica quantas raizes reais a funcao possui: Δ > 0 indica duas raizes reais e distintas, Δ = 0 indica uma raiz dupla, e Δ < 0 indica que nao existem raizes reais (as raizes sao complexas). As raizes sao calculadas pela formula de Bhaskara: x = (-b ± √Δ) / 2a. Para mais detalhes, visite Funcao Quadratica.
Erro mais comum no vertice
Ao calcular a absissa do vertice, lembre: x = -b/(2a). O sinal de menos e crucial. Muitos alunos esquecem o sinal negativo e acabam calculando b/(2a) em vez de -b/(2a), o que altera completamente a resposta. Sempre verifique: se b = -6 e a = 1, entao x = -(-6)/(2·1) = 6/2 = 3.
Exercicio 11
Enunciado: Calcule o delta (discriminante) da funcao f(x) = x² - 5x + 6.
Solucao passo a passo:
- Identificamos: a = 1, b = -5, c = 6.
- Formula do delta: Δ = b² - 4ac.
- Calculamos: Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1.
Resposta: Δ = 1.
Explicacao: Como Δ > 0, a funcao possui duas raizes reais e distintas. A parabola corta o eixo X em dois pontos diferentes. Se Δ = 0, a parabola tocaria o eixo X em apenas um ponto (o vertice). Se Δ < 0, a parabola nao interceptaria o eixo X em nenhum ponto.
Dica: Quando calcular Δ e obter um numero perfeito quadrado (como 1, 4, 9, 16...), as raizes serao racionais. Quando nao for perfeito quadrado, as raizes serao irracionais.
Exercicio 12
Enunciado: Encontre as raizes da equacao x² - 7x + 12 = 0.
Solucao passo a passo:
- Identificamos: a = 1, b = -7, c = 12.
- Delta: Δ = (-7)² - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1.
- Raizes: x = (-(-7) ± √1) / (2·1) = (7 ± 1)/2.
- x₁ = (7 + 1)/2 = 8/2 = 4.
- x₂ = (7 - 1)/2 = 6/2 = 3.
Resposta: x = 3 e x = 4.
Explicacao: Pode-se verificar substituindo na equacao original: f(3) = 9 - 21 + 12 = 0 e f(4) = 16 - 28 + 12 = 0. Ambas as raizes conferem. Note que x₁ + x₂ = 7 = -b/a e x₁ · x₂ = 12 = c/a, confirmando as relacoes de Vieta.
Dica: Para equacoes monicas (a = 1), procure dois numeros que somados dao -b e multiplicados dao c. Aqui, 3 + 4 = 7 e 3 · 4 = 12. Esse metodo e mais rapido que Bhaskara.
Exercicio 13
Enunciado: Qual e o vertice da funcao f(x) = x² - 6x + 5?
Solucao passo a passo:
- Identificamos: a = 1, b = -6, c = 5.
- Absissa do vertice: h = -b/(2a) = -(-6)/(2·1) = 6/2 = 3.
- Ordenada do vertice: k = f(3) = 3² - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.
- O vertice e o ponto (3, -4).
Resposta: (3, -4).
Explicacao: O vertice e o ponto mais baixo (minimo) da parabola, pois a = 1 > 0, o que significa que a parabola abre para cima. O eixo de simetria e a reta vertical x = 3, que divide a parabola em duas metades espelhadas. Qualquer ponto da parabola tem um simetrico em relacao a essa reta.
Dica: Para encontrar o vertice, primeiro calcule h = -b/(2a) e depois substitua h na funcao para encontrar k. O vertice e sempre (h, k).
Exercicio 14
Enunciado: A funcao f(x) = x² + 4 possui raizes reais?
Solucao passo a passo:
- Identificamos: a = 1, b = 0, c = 4.
- Delta: Δ = 0² - 4(1)(4) = -16.
- Como Δ < 0, nao existem raizes reais.
Resposta: Nao tem raizes reais.
Explicacao: Quando o discriminante e negativo, as raizes sao complexas (imaginarias). A parabola nao corta o eixo X. No caso de f(x) = x² + 4, o minimo e (0, 4), que esta inteiramente acima do eixo X. Portanto, a parabola nunca toca ou cruza o eixo X, e nao existem raizes reais.
Dica: Nao confunda "nao ter raizes reais" com "nao existir a funcao". A funcao existe e e bem definida, mas seus cruzamentos com o eixo X sao complexos, nao reais.
Exercicio 15
Enunciado: Qual o corte no eixo Y da funcao f(x) = 3x² - 2x + 7?
Solucao passo a passo:
- O corte no eixo Y ocorre quando x = 0.
- Calculamos f(0) = 3(0)² - 2(0) + 7 = 0 - 0 + 7 = 7.
- O ponto de intersecao e (0, 7).
Resposta: (0, 7).
Explicacao: Para qualquer funcao polinomica, o corte no eixo Y e sempre dado por f(0), que neste caso e igual ao coeficiente livre c = 7. Isso vale para funcoes afins, quadraticas, cubicas e qualquer outra polinomial. E uma propriedade geral que vale a pena memorizar.
Dica: O corte no eixo Y de qualquer funcao polinomica f(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀ e sempre (0, a₀), ou seja, o coeficiente livre.
Exercicio 16
Enunciado: Se as raizes da equacao x² - 8x + 15 = 0 sao x₁ e x₂, quanto vale x₁ + x₂?
Solucao passo a passo:
- Pela relacao de Vieta, a soma das raizes de ax² + bx + c = 0 e x₁ + x₂ = -b/a.
- Identificamos: a = 1, b = -8.
- Soma: x₁ + x₂ = -(-8)/1 = 8.
Resposta: 8.
Explicacao: As relacoes de Vieta sao extremamente uteis para resolver problemas sem precisar calcular as raizes individualmente. Tambem vale x₁ · x₂ = c/a = 15. No ENEM, muitas questoes de funcao quadratica sao resolvidas mais rapidamente com Vieta do que com Bhaskara.
Dica: Memorize: soma das raizes = -b/a e produto das raizes = c/a. Essas relacoes economizam muito tempo em provas.
Exercicio 17
Enunciado: Se as raizes de uma equacao quadratica sao x₁ = 2 e x₂ = 5, qual e a equacao?
Solucao passo a passo:
- Soma das raizes: x₁ + x₂ = 2 + 5 = 7.
- Produto das raizes: x₁ · x₂ = 2 · 5 = 10.
- A equacao geral e: x² - (soma)x + produto = 0.
- Resultado: x² - 7x + 10 = 0.
Resposta: x² - 7x + 10 = 0.
Explicacao: Para reconstruir a equacao a partir das raizes, basta calcular a soma e o produto e substituir na forma x² - Sx + P = 0 (para a = 1). Note que o sinal da soma se inverte: se a soma for 7, o termo e -7x. Esse procedimento e o inverso de usar as relacoes de Vieta.
Dica: Sempre verifique sua resposta multiplicando os fatores: (x - 2)(x - 5) = x² - 5x - 2x + 10 = x² - 7x + 10. Confere!
Exercicio 18
Enunciado: Uma parabola abre para cima e tem vertice em (1, -3). O vertice e ponto de maximo ou minimo?
Solucao passo a passo:
- Uma parabola abre para cima quando o coeficiente a > 0.
- Quando a > 0, o vertice e o ponto mais baixo da parabola.
- Portanto, o vertice e ponto de minimo.
Resposta: Ponto minimo.
Explicacao: Se a parabola abrisse para baixo (a < 0), o vertice seria ponto de maximo. A concavidade da parabola determina se o vertice representa o menor ou o maior valor da funcao. No caso, y = -3 e o menor valor que f(x) assume, pois a parabola se abre para cima a partir desse ponto.
Dica: Para lembrar: "a positivo = abre pra cima = minimo". "a negativo = abre pra baixo = maximo". Uma mnemonica simples e "a = altitudE: positivo = pra cima".
Exercicio 19
Enunciado: Qual e o eixo de simetria da funcao f(x) = -2x² + 8x - 3?
Solucao passo a passo:
- Identificamos: a = -2, b = 8, c = -3.
- O eixo de simetria e a reta vertical que passa pelo vertice: x = -b/(2a).
- Calculamos: x = -8/(2 · (-2)) = -8/(-4) = 2.
Resposta: x = 2.
Explicacao: O eixo de simetria divide a parabola em duas metades espelhadas. A funcao assume o mesmo valor para valores de x equidistantes de x = 2. Por exemplo, f(1) = f(3), f(0) = f(4), e assim por diante. O eixo de simetria e sempre a reta vertical x = h, onde h e a absissa do vertice.
Dica: O eixo de simetria e sempre uma reta da forma x = constante, nunca y = constante. E sempre vertical porque a parabola e simetrica em relacao a uma reta vertical.
Exercicio 20
Enunciado: Resolva a equacao x² - 9 = 0.
Solucao passo a passo:
- Isolamos o termo quadrático: x² = 9.
- Tiramos a raiz quadrada dos dois lados: x = ±√9.
- Raiz quadrada de 9 e 3.
- As raizes sao x = 3 e x = -3.
Resposta: x = 3 e x = -3.
Explicacao: Essa e uma equacao do tipo diferenca de quadrados: x² - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0. Podemos verificar: (3 - 3)(3 + 3) = 0 e (-3 - 3)(-3 + 3) = 0. A diferenca de quadrados e um padrao muito comum em provas e deve ser reconhecido instantaneamente.
Dica: Toda expressao da forma a² - b² pode ser fatorada como (a - b)(a + b). Memorize esse padrao para resolver equacoes rapidamente.
Funcao Exponencial (Exercicios 21 a 28)
A funcao exponencial tem a forma f(x) = a · bˣ, onde a > 0, b > 0 e b ≠ 1. Quando b > 1, a funcao e crescente (crescimento exponencial). Quando 0 < b < 1, a funcao e decrescente (decaimento exponencial). Todo ponto (0, a) pertence ao grafico, pois b⁰ = 1 e f(0) = a · 1 = a. A reta horizontal y = 0 (eixo X) e sempre uma assintota horizontal. Funcoes exponenciais modelam crescimento populacional, juros compostos, decaimento radioativo, e muitos outros fenomenos reais. Consulte Funcao Exponencial para a teoria completa.
Regra fundamental
Toda funcao exponencial f(x) = a · bˣ sempre passa pelo ponto (0, a). Isso acontece porque qualquer numero positivo elevado a zero e igual a 1, logo f(0) = a · 1 = a. Quando a = 1, passa pelo ponto (0, 1). Essa propriedade e rapidamente verificavel e aparece constantemente em provas.
Exercicio 21
Enunciado: Qual e o valor de f(0) na funcao f(x) = 7 · 3ˣ?
Solucao passo a passo:
- Substituimos x = 0 na funcao: f(0) = 7 · 3⁰.
- Qualquer numero positivo elevado a zero e 1: 3⁰ = 1.
- f(0) = 7 · 1 = 7.
Resposta: 7.
Explicacao: Isso confirma a propriedade de que f(x) = a · bˣ passa por (0, a). Aqui, a = 7 e de fato f(0) = 7. Essa propriedade e valiosa porque, conhecendo o ponto (0, a), voce ja sabe um dos parametros da funcao sem precisar de mais calculos.
Dica: Quando o enunciado diz que uma funcao exponencial passa por (0, 5), voce ja sabe que a = 5. Use isso para eliminar alternativas incorretas rapidamente.
Exercicio 22
Enunciado: A funcao f(x) = 5 · (1/2)ˣ e crescente ou decrescente?
Solucao passo a passo:
- Identificamos a base: b = 1/2.
- Como 0 < 1/2 < 1, a funcao e decrescente.
- Conforme x aumenta, (1/2)ˣ diminui, e consequentemente f(x) diminui.
Resposta: Decrescente.
Explicacao: Funcoes exponenciais com base entre 0 e 1 representam decaimento. Por exemplo, se voce tem metade de algo e toma metade novamente, o valor diminui progressivamente. O valor de f(x) se aproxima de 0 conforme x cresce, mas nunca chega a zero — o eixo X e uma assintota.
Dica: Para determinar se uma funcao exponencial e crescente ou decrescente, basta olhar a base: b > 1 = crescente; 0 < b < 1 = decrescente. Nao importa o valor de a.
Exercicio 23
Enunciado: Uma bacteria dobra a cada 3 horas. Inicialmente ha 200 bacterias. Quantas bacterias havera apos 12 horas?
Solucao passo a passo:
- A funcao que modela o crescimento duplo e P(t) = P₀ · 2^(t/T), onde P₀ = 200 e T = 3 horas.
- Substituindo t = 12: P(12) = 200 · 2^(12/3) = 200 · 2⁴.
- Calculamos: 2⁴ = 16.
- P(12) = 200 · 16 = 3.200.
Resposta: 3.200 bacterias.
Explicacao: Em 12 horas ocorrem 12/3 = 4 ciclos de duplicacao. Cada ciclo dobra a quantidade: 200 → 400 → 800 → 1.600 → 3.200. O crescimento exponencial e devastador — em poucos ciclos, o numero cresce enormemente. Isso explica por que epidemias podem se espalhar tao rapidamente.
Dica: O numero de ciclos de duplicacao e t/T, onde t e o tempo total e T e o periodo de duplicacao. Calcule quantos ciclos cabem no tempo dado e eleve 2 a esse numero.
Exercicio 24
Enunciado: Se f(x) = 2ˣ, quanto vale f(5)?
Solucao passo a passo:
- Substituimos x = 5: f(5) = 2⁵.
- Calculamos a potencia: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
Resposta: 32.
Explicacao: A funcao f(x) = 2ˣ e uma funcao exponencial crescente classica. Cada incremento em x dobra o valor da funcao: f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 8, f(4) = 16, f(5) = 32. Note como os valores crescem rapidamente — isso e a essencia do crescimento exponencial.
Dica: Memorize as potencias de 2 até 2¹⁰ = 1024. Elas aparecem constantemente em provas e em problemas de ciencia da computacao.
Exercicio 25
Enunciado: Um investimento de R$ 500,00 rende 6% ao ano de juros compostos. Quanto o investidor tera apos 3 anos?
Solucao passo a passo:
- A formula de juros compostos e M = C · (1 + i)ⁿ, onde C = 500, i = 0,06, n = 3.
- M = 500 · (1,06)³.
- Calculamos: 1,06³ = 1,06 · 1,06 · 1,06 = 1,191016.
- M = 500 · 1,191016 = 595,508 ≈ R$ 595,51.
Resposta: R$ 595,51.
Explicacao: Juros compostos sao uma aplicacao direta de funcoes exponenciais. A cada ano, o saldo e multiplicado por 1,06, gerando crescimento acelerado. Compare com juros simples: com juros simples seriam R$ 500 + 3 · R$ 30 = R$ 590,00. A diferenca de R$ 5,51 parece pequena em 3 anos, mas ao longo de decadas, a diferenca e abismal.
Dica: Juros compostos = funcao exponencial. Juros simples = funcao afim. Identifique o tipo de juros no enunciado antes de escolher a formula.
Exercicio 26
Enunciado: Se f(x) = 3ˣ, quanto vale f(2) · f(3)?
Solucao passo a passo:
- f(2) = 3² = 9.
- f(3) = 3³ = 27.
- f(2) · f(3) = 9 · 27 = 243.
- Alternativamente usando propriedade de potencias: f(2) · f(3) = 3² · 3³ = 3^(2+3) = 3⁵ = 243.
Resposta: 243.
Explicacao: A propriedade de multiplicacao de potencias de mesma base e fundamental: bᵐ · bⁿ = b^(m+n). Isso torna o calculo mais simples e rapido. Quando multiplicamos valores de uma mesma funcao exponencial, basta somar os expoentes. Essa propriedade aparece em diversas questoes do ENEM.
Dica: Em vez de calcular cada valor separadamente, use a propriedade bᵐ · bⁿ = b^(m+n). E mais rapido e menos sujeito a erros de calculo.
Exercicio 27
Enunciado: Uma funcao exponencial passa pelos pontos (0, 4) e (1, 12). Qual e a equacao?
Solucao passo a passo:
- A forma geral e f(x) = a · bˣ.
- Como passa por (0, 4): f(0) = a · b⁰ = a = 4.
- Como passa por (1, 12): f(1) = 4 · b¹ = 4b = 12.
- Resolvendo: b = 12/4 = 3.
- A equacao e f(x) = 4 · 3ˣ.
Resposta: f(x) = 4 · 3ˣ.
Explicacao: Para encontrar a equacao de uma funcao exponencial, precisamos de dois pontos. O primeiro ponto (quando x = 0) nos da diretamente o valor de a, pois f(0) = a · b⁰ = a. Com a conhecida, o segundo ponto permite encontrar b. Esse procedimento e o mesmo usado para determinar retas (dois pontos determinam uma reta) — dois pontos tambem determinam uma funcao exponencial.
Dica: Se o enunciado der o ponto (0, k), voce ja sabe que a = k. Procure sempre esse ponto primeiro para simplificar os calculos.
Exercicio 28
Enunciado: Um medicamento e metabolizado pelo corpo e sua quantidade cai pela metade a cada 6 horas. Se o paciente toma 800 mg, quanto do medicamento resta no organismo apos 18 horas?
Solucao passo a passo:
- A funcao de decaimento e Q(t) = Q₀ · (1/2)^(t/T), onde Q₀ = 800 e T = 6 horas.
- Substituindo t = 18: Q(18) = 800 · (1/2)^(18/6) = 800 · (1/2)³.
- (1/2)³ = 1/8.
- Q(18) = 800 · (1/8) = 100 mg.
Resposta: 100 mg.
Explicacao: Em 18 horas ocorrem 3 meias-vidas (18/6 = 3). A quantidade e reduzida pela metade 3 vezes: 800 → 400 → 200 → 100. O conceito de meia-vida e amplamente utilizado em medicina, farmacologia, fisica nuclear e arqueologia (datacao por carbono-14).
Dica: Decaimento pela metade = funcao exponencial com base 1/2. O numero de meias-vidas e t/T. Multiplique o numero de meias-vidas e eleve 1/2 a esse numero.
Funcao Logaritmica (Exercicios 29 a 36)
A funcao logaritmica e a inversa da funcao exponencial. A forma geral e f(x) = log_b(x), onde b > 0, b ≠ 1 e x > 0. O logaritmo responde a pergunta: "a que devo elevar b para obter x?" Propriedades importantes: log_b(1) = 0 (pois b⁰ = 1), log_b(b) = 1 (pois b¹ = b), log_b(bˣ) = x (inversao com exponencial). Soma de logaritmos: log_b(m) + log_b(n) = log_b(m·n). Subtracao: log_b(m) - log_b(n) = log_b(m/n). Expoente: log_b(mⁿ) = n · log_b(m). Mudanca de base: log_b(x) = log_c(x) / log_c(b). Visite Funcao Logaritmica para mais detalhes.
Propriedade essencial
O logaritmo de 1 em qualquer base valida e sempre 0, pois qualquer numero positivo elevado a 0 da 1. O logaritmo de um numero na propria base e sempre 1. Lembre tambem que o argumento de um logaritmo deve ser sempre estritamente positivo: log_b(x) so existe para x > 0.
Exercicio 29
Enunciado: Qual o valor de log₂(64)?
Solucao passo a passo:
- Perguntamos: a que devo elevar 2 para obter 64?
- Calculamos as potencias de 2: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64.
- Como 2⁶ = 64, log₂(64) = 6.
Resposta: 6.
Explicacao: O logaritmo e a operacao inversa da exponenciacao. Se 2⁶ = 64, entao log₂(64) = 6. Essa relacao e fundamental para entender a funcao logaritmica. O logaritmo basicamente "pergunta qual expoente produz um determinado resultado quando a base e固定ada."
Dica: Memorize as potencias de 2, 3, 5 e 10 ate pelo menos a potencia 10. Isso acelera enormemente o calculo de logaritmos em provas.
Exercicio 30
Enunciado: Quanto vale log₅(1)?
Solucao passo a passo:
- Perguntamos: a que devo elevar 5 para obter 1?
- Sabemos que qualquer numero positivo elevado a 0 e igual a 1: 5⁰ = 1.
- Logo, log₅(1) = 0.
Resposta: 0.
Explicacao: Essa propriedade vale para qualquer base valida: log_b(1) = 0, pois b⁰ = 1 sempre. Isso acontece porque qualquer numero positivo elevado a zero e igual a unidade. E uma propriedade que aparece frequentemente em provas como etapa intermediaria de exercicios mais complexos.
Dica: log_b(1) = 0 para qualquer b valida. Isso e um atalho que voce pode usar para resolver rapidamente qualquer equacao do tipo log_b(1) = ?.
Exercicio 31
Enunciado: Simplifique a expressao: log₃(9) + log₃(27).
Solucao passo a passo:
- Calculamos separadamente: log₃(9) = 2 (pois 3² = 9).
- log₃(27) = 3 (pois 3³ = 27).
- Soma: 2 + 3 = 5.
- Alternativamente, usando a propriedade de soma: log₃(9) + log₃(27) = log₃(9 · 27) = log₃(243) = 5.
Resposta: 5.
Explicacao: A propriedade log_b(m) + log_b(n) = log_b(m · n) permite simplificar somas de logaritmos de mesma base em um unico logaritmo do produto. Neste caso, log₃(9) + log₃(27) = log₃(9 · 27) = log₃(243) = 5, pois 3⁵ = 243. Ambos os metodos dao o mesmo resultado.
Dica: Quando somar logaritmos de mesma base, transforms em logaritmo do produto. Quando subtrair, transforms em logaritmo da divisao. Essas propriedades simplificam muitas expressoes complexas.
Exercicio 32
Enunciado: Simplifique: log₂(32) - log₂(4).
Solucao passo a passo:
- log₂(32) = 5, pois 2⁵ = 32.
- log₂(4) = 2, pois 2² = 4.
- Diferenca: 5 - 2 = 3.
- Alternativamente: log₂(32) - log₂(4) = log₂(32/4) = log₂(8) = 3.
Resposta: 3.
Explicacao: A propriedade de subtracao de logaritmos: log_b(m) - log_b(n) = log_b(m/n). Subtrair logaritmos equivale ao logaritmo da razao. E o inverso da propriedade de soma: enquanto soma de logs corresponde ao log do produto, subtracao corresponde ao log da divisao.
Dica: As propriedades de soma e subtracao de logaritmos sao os atalhos mais usados em provas. Domine-as completamente.
Exercicio 33
Enunciado: Simplifique: log₅(25⁴).
Solucao passo a passo:
- Usamos a propriedade do expoente: log_b(mⁿ) = n · log_b(m).
- log₅(25⁴) = 4 · log₅(25).
- Calculamos: log₅(25) = 2 (pois 5² = 25).
- Resultado: 4 · 2 = 8.
Resposta: 8.
Explicacao: A propriedade do expoente nos permite trazer o expoente para frente do logaritmo como um multiplicador. Isso simplifica enormemente o calculo. Sem essa propriedade, teriamos que calcular 25⁴ = 390.625 e depois log₅(390.625), o que seria bem mais trabalhoso.
Dica: Sempre que aparecer um expoente dentro de um logaritmo, traga-o para frente. Essa e uma das propriedades mais uteis e menos lembradas pelos alunos.
Exercicio 34
Enunciado: Resolva: log₂(x) = 5.
Solucao passo a passo:
- Passamos da forma logaritmica para a forma exponencial.
- Se log_b(x) = y, entao x = bʸ (definicao de logaritmo).
- Logo, x = 2⁵ = 32.
Resposta: x = 32.
Explicacao: A forma exponencial e a inversa da logaritmica. Se o logaritmo de x na base 2 e 5, entao x e 2 elevado a 5. Essa conversao entre formas logaritmica e exponencial e a habilidade mais importante para resolver equacoes logaritmicass.
Dica: Para resolver qualquer equacao do tipo log_b(x) = y, basta escrever x = bʸ. E a definicao basica de logaritmo.
Exercicio 35
Enunciado: Resolva: log₃(x - 1) = 2.
Solucao passo a passo:
- Passamos para forma exponencial: x - 1 = 3² = 9.
- Resolvemos a equacao: x = 9 + 1 = 10.
- Verificacao: log₃(10 - 1) = log₃(9) = 2. Correto!
Resposta: x = 10.
Explicacao: Ao resolver equacoes com logaritmos, e sempre importante verificar se a solucao e valida — o argumento do logaritmo deve ser positivo. Aqui, x - 1 = 9 > 0, portanto e valida. Se tivessemos obtido um valor de x que tornasse o argumento negativo ou zero, teriamos que descartar essa solucao.
Dica: Sempre verifique se o argumento do logaritmo fica positivo com a solucao encontrada. Solucoes que violam x > 0 devem ser descartadas.
Exercicio 36
Enunciado: Qual o dominio da funcao f(x) = log(x - 3)?
Solucao passo a passo:
- O argumento de uma funcao logaritmica deve ser estritamente positivo.
- Entao: x - 3 > 0.
- Isolando: x > 3.
- O dominio e o intervalo (3, +∞).
Resposta: x > 3, ou seja, dominio = (3, +∞).
Explicacao: Logaritmo de numero negativo ou zero nao e definido no conjunto dos numeros reais. Portanto, devemos garantir que o argumento seja sempre positivo. Para f(x) = log(x - 3), o argumento e x - 3, que deve ser maior que zero. Isso define o dominio da funcao.
Dica: Para encontrar o dominio de qualquer funcao logaritmica, resolva a desigualdade argumento > 0. O resultado sera o dominio da funcao.
Leitura de Graficos (Exercicios 37 a 42)
A habilidade de interpretar graficos e uma das mais cobradas em provas do ENEM. Saber ler um grafico de funcao permite identificar o tipo de funcao, encontrar raizes, determinar o comportamento (crescimento/decrescimento), localizar pontos especificos e ate mesmo determinar a equacao da funcao a partir de pontos no grafico. Questoes de graficos aparecem tanto na area de Humanas quanto na area de Naturezas do ENEM, e dominar essa leitura pode garantir pontos valiosos em ambas as areas.
Dica para graficos: antes de qualquer coisa, identifique o eixo X e o eixo Y, as escalas utilizadas e os pontos notaveis (cortes nos eixos, vertice, pontos marcados). Muitos erros acontecem por nao prestar atencao na escala dos eixos — cada quadrado pode representar 1, 2, 5 ou 10 unidades.
Exercicio 37
Enunciado: O grafico de uma funcao afim corta o eixo X em (4, 0) e o eixo Y em (0, -8). Qual e a equacao da funcao?
Solucao passo a passo:
- Calculamos o coeficiente angular: a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (-8 - 0)/(0 - 4) = -8/(-4) = 2.
- O coeficiente linear e o corte no eixo Y: b = -8.
- A equacao e f(x) = 2x - 8.
Resposta: f(x) = 2x - 8.
Explicacao: A partir de dois pontos no grafico, podemos determinar completamente a equacao de uma reta. O corte no eixo Y nos da b diretamente, e o coeficiente angular e calculado pela variacao de y dividida pela variacao de x. Verificacao: f(4) = 2(4) - 8 = 0 (corte no eixo X) e f(0) = -8 (corte no eixo Y). Tudo confere.
Dica: Quando o enunciado da dois pontos de intersecao com os eixos, use-os para calcular a e b diretamente. E o metodo mais eficiente.
Exercicio 38
Enunciado: Uma parabola tem vertice em (2, -5) e corta o eixo Y em (0, -1). Qual e a equacao da funcao?
Solucao passo a passo:
- A forma vertice e f(x) = a(x - h)² + k, onde (h, k) = (2, -5).
- Substituindo: f(x) = a(x - 2)² - 5.
- Usando o ponto (0, -1): -1 = a(0 - 2)² - 5.
- Calculamos: -1 = a(4) - 5 → -1 = 4a - 5 → 4 = 4a → a = 1.
- A equacao e f(x) = (x - 2)² - 5 = x² - 4x + 4 - 5 = x² - 4x - 1.
Resposta: f(x) = x² - 4x - 1.
Explicacao: A forma vertice f(x) = a(x - h)² + k e muito util quando conhecemos o vertice. Substituindo o vertice (2, -5), temos f(x) = a(x - 2)² - 5. O valor de a e determinado usando um ponto conhecido no grafico. O sinal de a indica a concavidade: a = 1 > 0, portanto a parabola abre para cima.
Dica: Quando conhecemos o vertice, use a forma f(x) = a(x - h)² + k. E mais eficiente que a forma geral f(x) = ax² + bx + c.
Exercicio 39
Enunciado: Em qual intervalo a funcao f(x) = -x² + 4x e crescente?
Solucao passo a passo:
- Identificamos: a = -1, b = 4, c = 0.
- Absissa do vertice: x = -b/(2a) = -4/(2·(-1)) = -4/(-2) = 2.
- Como a = -1 < 0, a parabola abre para baixo.
- A funcao e crescente para x < 2 e decrescente para x > 2.
- Intervalo de crescimento: (-∞, 2).
Resposta: (-∞, 2).
Explicacao: Para uma parabola que abre para baixo (a < 0), a funcao cresce da esquerda ate o vertice e depois comeca a decrescer. O vertice e o ponto de transicao entre crescimento e decrescimento. Portanto, a funcao e crescente em todo intervalo à esquerda do vertice e decrescente à direita.
Dica: Para parabola com a < 0: cresce em (-∞, h) e decresce em (h, +∞). Para parabola com a > 0: decresce em (-∞, h) e cresce em (h, +∞).
Exercicio 40
Enunciado: O grafico de uma funcao exponencial passa pelo ponto (0, 3) e quando x = 2, y = 27. Qual e a base b da funcao?
Solucao passo a passo:
- A forma geral e f(x) = a · bˣ.
- Pelo ponto (0, 3): a · b⁰ = a = 3.
- Pelo ponto (2, 27): 3 · b² = 27.
- Resolvendo: b² = 27/3 = 9.
- b = √9 = 3 (tomamos o valor positivo pois base de exponencial deve ser positiva).
Resposta: b = 3.
Explicacao: Conhecendo o ponto (0, 3), ja sabemos que a = 3. Com um segundo ponto, encontramos b. A funcao completa e f(x) = 3 · 3ˣ = 3^(x+1). Note que, neste caso, a funcao pode ser reescrita como f(x) = 3^(x+1), mostrando que o grafico e uma versao deslocada de 3ˣ.
Dica: Sempre comece pelo ponto (0, a) para encontrar a rapidamente. Depois use o segundo ponto para encontrar b.
Exercicio 41
Enunciado: Considere o grafico de uma funcao logaritmica f(x) = log_b(x) que passa pelo ponto (9, 2). Qual e a base b?
Solucao passo a passo:
- Substituindo o ponto (9, 2): log_b(9) = 2.
- Passando para forma exponencial: b² = 9.
- b = √9 = 3 (base deve ser positiva e diferente de 1).
Resposta: b = 3.
Explicacao: Quando um ponto (x, y) pertence ao grafico de log_b(x), temos log_b(x) = y, o que equivale a bʸ = x na forma exponencial. Neste caso, b² = 9, logo b = 3. A funcao completa e f(x) = log₃(x), que e a inversa de f(x) = 3ˣ.
Dica: Para encontrar a base de uma funcao logaritmica a partir de um ponto, converta para forma exponencial e resolva.
Exercicio 42
Enunciado: A funcao f(x) = |x - 3| - 2 e crescente em qual intervalo?
Solucao passo a passo:
- A funcao modulo tem formato de V, com vertice no ponto onde o argumento e zero.
- O vertice ocorre quando x - 3 = 0, ou seja, x = 3. No vertice, f(3) = |0| - 2 = -2.
- Para x ≥ 3, f(x) = (x - 3) - 2 = x - 5 (reta crescente com a = 1).
- Para x < 3, f(x) = -(x - 3) - 2 = -x + 1 (reta decrescente com a = -1).
- A funcao e crescente no intervalo [3, +∞).
Resposta: [3, +∞).
Explicacao: A funcao modulo tem o grafico em formato de V. O ponto mais baixo (minimo) e o vertice, que ocorre quando o argumento do modulo e zero. À direita do vertice, a funcao e crescente (ramo positivo). À esquerda, e decrescente (ramo negativo). Esse tipo de funcao aparece em provas do ENEM com frequencia crescente.
Dica: Para funcoes do tipo f(x) = |ax + b| + c, o vertice e (-b/a, c). A funcao decresce à esquerda e cresce à direita do vertice (quando a > 0).
Problemas Aplicados (Exercicios 43 a 50)
Problemas aplicados sao a marca registrada do ENEM. Eles exigem que voce interprete um enunciado do cotidiano, identifique o tipo de funcao adequado, monte a equacao e resolva. Esses problemas testam nao apenas seus conhecimentos matematicos, mas tambem sua capacidade de raciocinio logico e interpretacao de texto. Nesta secao, trabalhamos com situacoes reais que envolvem todas as funcoes estudadas: financas, fisica, biologia, geometria e cotidiano. Dominar esses problemas e essencial para uma boa nota no ENEM.
Estrategia para problemas aplicados
Leia o enunciado completo pelo menos duas vezes. Identifique as variaveis (o que varia) e as constantes (o que permanece fixo). Defina o que a questao pede e escolha o tipo de funcao adequado. Monte a equacao, resolva e verifique se a resposta faz sentido no contexto do problema.
Exercicio 43
Enunciado: Uma loja oferece um desconto de 20% sobre o preco de um produto que custa R$ 250,00. Apos o desconto, incide um acrescimo de 10% sobre o valor ja descontado. Qual e o preco final do produto?
Solucao passo a passo:
- Preco original: R$ 250,00.
- Desconto de 20%: 250 · 0,20 = R$ 50,00. Preco apos desconto: 250 - 50 = R$ 200,00.
- Acrescimo de 10% sobre R$ 200,00: 200 · 0,10 = R$ 20,00.
- Preco final: 200 + 20 = R$ 220,00.
Resposta: R$ 220,00.
Explicacao: Muitos alunos cometem o erro de calcular 20% - 10% = 10% de desconto total. Isso esta errado! O desconto e aplicado sobre o preco original, mas o acrescimo e aplicado sobre o valor ja descontado. São bases diferentes para o calculo percentual. O preco final (R$ 220,00) e menor que o original (R$ 250,00), o que faz sentido pois o desconto foi maior que o acrescimo.
Dica: Em problemas de desconto e acrescimento sucessivos, nunca some ou subtraia as porcentagens diretamente. Calcule cada operacao separadamente sobre a base atual.
Exercicio 44
Enunciado: Um reservatorio tem 12.000 litros de agua. Um cano enche o reservatorio em 6 horas e outro cano esvazia em 4 horas. Se ambos estiverem abertos ao mesmo tempo, quanto tempo levara para encher o reservatorio vazio?
Solucao passo a passo:
- Taxa de entrada: 12.000 / 6 = 2.000 litros/hora.
- Taxa de saida: 12.000 / 4 = 3.000 litros/hora.
- Taxa liquida: 2.000 - 3.000 = -1.000 litros/hora.
- Como a taxa liquida e negativa, o reservatorio esta sendo esvaziado, nao enchido.
- Conclusao: e impossivel encher o reservatorio com ambos os canos abertos, pois o cano de saida e mais rapido que o de entrada.
Resposta: Impossivel encher — o cano de saida e mais rapido.
Explicacao: Esse tipo de problema e classico e testa a capacidade de raciocinio do aluno. A funcao do nivel de agua seria f(t) = -1000t + 12.000 (se comecasse cheio) ou f(t) = -1000t (se comecasse vazio). Em ambos os casos, o nivel diminui com o tempo. O cano de esvazramento tem maior capacidade (3.000 L/h) que o de enchimento (2.000 L/h).
Dica: Sempre calcule as taxas individualmente antes de combina-las. Compare as taxas para determinar se o resultado final e de crescimento ou decrescimento.
Exercicio 45
Enunciado: Um projetil e lancado verticalmente para cima com velocidade inicial de 40 m/s. Sua altura em funcao do tempo e dada por h(t) = 40t - 5t². Qual e a altura maxima atingida pelo projetil?
Solucao passo a passo:
- A funcao e quadratica: h(t) = -5t² + 40t, com a = -5, b = 40, c = 0.
- Tempo para atingir a altura maxima (vertice): t = -b/(2a) = -40/(2·(-5)) = -40/(-10) = 4 segundos.
- Altura maxima: h(4) = 40(4) - 5(4)² = 160 - 80 = 80 metros.
Resposta: 80 metros.
Explicacao: A funcao h(t) = 40t - 5t² e uma parabola que abre para baixo (a = -5 < 0). O vertice representa a altura maxima atingida pelo projetil. O tempo para atingir essa altura e t = 4 segundos. Apos esse ponto, o projetil comeca a cair. A funcao e simetrica: o projetil leva 4 segundos para subir e 4 segundos para descer (t = 8 segundos quando h = 0 novamente).
Dica: Em problemas de lancamento vertical, a funcao altura e sempre quadratica. O vertice da parabola e sempre o ponto de altura maxima. O tempo total de voo e o dobro do tempo para atingir o vertice.
Exercicio 46
Enunciado: A populacao de uma cidade era de 50.000 habitantes em 2020 e cresce a taxa de 2% ao ano. Qual sera a populacao estimada em 2025?
Solucao passo a passo:
- A funcao de crescimento e P(t) = P₀ · (1 + i)ᵗ, onde P₀ = 50.000, i = 0,02, t = 5 anos.
- P(5) = 50.000 · (1,02)⁵.
- Calculamos: 1,02⁵ ≈ 1,10408.
- P(5) = 50.000 · 1,10408 ≈ 55.204 habitantes.
Resposta: Aproximadamente 55.204 habitantes.
Explicacao: Crescimento populacional a taxa percentual fixa e modelado por funcao exponencial. A cada ano, a populacao e multiplicada por 1,02. Em 5 anos, a populacao cresce cerca de 10,4%. Esse tipo de problema e extremamente comum no ENEM e na vida real.
Dica: Crescimento percentual fixo = funcao exponencial. Nao e funcao linear! Muitos alunos erram ao calcular 2% × 5 = 10% e somar diretamente, o que daria 55.000 — valor aproximado mas incorreto para crescimento composto.
Exercicio 47
Enunciado: Um som tem intensidade inicial de I₀ e diminui com a distancia de acordo com a funcao I(d) = I₀ · (1/2)^(d/3), onde d esta em metros. Se a intensidade inicial e 128 unidades, qual e a intensidade a 9 metros de distancia?
Solucao passo a passo:
- Substituindo: I(9) = 128 · (1/2)^(9/3) = 128 · (1/2)³.
- Calculamos: (1/2)³ = 1/8.
- I(9) = 128 · (1/8) = 16 unidades.
Resposta: 16 unidades.
Explicacao: A funcao modela o decaimento da intensidade sonora com a distancia. A cada 3 metros, a intensidade e reduzida pela metade. Em 9 metros, ocorrem 3 meias-vidas: 128 → 64 → 32 → 16. Esse tipo de decaimento exponencial aparece em acustica, fisica nuclear e muitas outras areas da ciencia.
Dica: O numero de meias-vidas e d/T, onde d e a distancia (ou tempo) e T e a distancia (ou tempo) para reduzir pela metade. Aqui, T = 3 metros.
Exercicio 48
Enunciado: A escala de pH mede a acidez de uma solucao e e dada por pH = -log[H⁺], onde [H⁺] e a concentracao de ion hidrogenio em mol/L. Se a concentracao de [H⁺] = 0,001 mol/L, qual e o pH da solucao?
Solucao passo a passo:
- Substituindo: pH = -log(0,001).
- Reescrevendo: 0,001 = 10⁻³.
- log(10⁻³) = -3 (pois log₁₀(10⁻³) = -3).
- pH = -(-3) = 3.
Resposta: pH = 3.
Explicacao: A escala de pH e um exemplo perfeito de aplicacao de logaritmos na vida real. O pH vai de 0 a 14: valores abaixo de 7 indicam solucao acima de 7 indicam solucao basica. Um pH = 3 e considerado acidimo. A funcao pH = -log[H⁺] transforma concentracoes que variam em ordens de grandeza (10⁻¹, 10⁻², 10⁻³...) em numeros simples de trabalhar (1, 2, 3...).
Dica: Lembre que [H⁺] = 10⁻ᵖᴴ e pH = -log[H⁺]. Essa relacao entre logaritmo e exponencial e a base da escala de pH.
Exercicio 49
Enunciado: Uma fabrica produz x unidades de um produto por dia, com funcao de custo C(x) = 0,5x² - 20x + 500 (em reais). Qual e o custo medio por unidade quando se produzem 40 unidades?
Solucao passo a passo:
- Custo total para 40 unidades: C(40) = 0,5(40)² - 20(40) + 500.
- Calculamos: 0,5(1600) - 800 + 500 = 800 - 800 + 500 = 500.
- Custo medio = Custo total / numero de unidades = 500 / 40 = 12,50.
Resposta: R$ 12,50 por unidade.
Explicacao: O custo medio e o custo total dividido pela quantidade produzida. A funcao de custo total C(x) = 0,5x² - 20x + 500 e quadratica, indicando que o custo unitario varia com a quantidade. Para 40 unidades, o custo medio e R$ 12,50. Note que o vertice da funcao de custo total esta em x = 20/(2·0,5) = 20 unidades — o ponto de menor custo total.
Dica: Custo medio = C(x)/x. Nao confunda com o custo marginal (derivada da funcao de custo). Em provas do ENEM, pedem o custo medio, que e mais simples de calcular.
Exercicio 50
Enunciado: Um investidor aplica R$ 10.000,00 em uma conta que rende 10% ao mes de juros compostos e pretende sacar o dinheiro quando o saldo atingir R$ 20.000,00. Apos quantos meses o investidor podera sacar o dinheiro? (Considere log₂ = 0,3010).
Solucao passo a passo:
- A funcao e M(t) = 10.000 · (1,10)ᵗ, onde t esta em meses.
- Queremos encontrar t quando M(t) = 20.000.
- Igualando: 10.000 · (1,10)ᵗ = 20.000.
- Dividindo: (1,10)ᵗ = 2.
- Aplicando logaritmo: t · log(1,10) = log(2).
- Isolando: t = log(2) / log(1,10).
- Calculando: t = 0,3010 / 0,0414 ≈ 7,27 meses.
Resposta: Aproximadamente 8 meses (arredondando para cima).
Explicacao: Esse problema combina funcao exponencial com logaritmo, demonstrando porque o logaritmo e a operacao inversa da exponenciacao. O investimento dobra em aproximadamente 7,27 meses. Como os meses sao inteiros, o investidor tera que esperar ate o 8o mes para sacar. Note o uso da mudanca de base no calculo: t = log(2)/log(1,10).
Dica: Para resolver equacoes exponenciais como aˣ = b, aplique logaritmo em ambos os lados: x = log(b)/log(a). Esse procedimento e fundamental e aparece em muitas provas.
Gabarito Completo
Consulte as respostas abaixo. Cada exercicio tem a resposta correta e uma breve referencia ao tipo de funcao utilizada. Use esta tabela para conferir rapidamente seus resultados apos resolver os exercicios.
| Nº | Resposta | Nº | Resposta | Nº | Resposta |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | a = 4 | 18 | Ponto minimo | 35 | x = 10 |
| 2 | (0, 6) | 19 | x = 2 | 36 | x > 3 |
| 3 | (5, 0) | 20 | x = 3 e x = -3 | 37 | f(x) = 2x - 8 |
| 4 | a = 3 | 21 | 7 | 38 | f(x) = x² - 4x - 1 |
| 5 | f(x) = 3x - 1 | 22 | Decrescente | 39 | (-∞, 2) |
| 6 | g(x) = -2x + 7 | 23 | 3.200 | 40 | b = 3 |
| 7 | a₂ = -2 | 24 | 32 | 41 | b = 3 |
| 8 | R$ 34,00 | 25 | R$ 595,51 | 42 | [3, +∞) |
| 9 | 50°C | 26 | 243 | 43 | R$ 220,00 |
| 10 | Paralelas | 27 | f(x) = 4 · 3ˣ | 44 | Impossivel |
| 11 | Δ = 1 | 28 | 100 mg | 45 | 80 metros |
| 12 | x = 3 e x = 4 | 29 | 6 | 46 | ~55.204 |
| 13 | (3, -4) | 30 | 0 | 47 | 16 unidades |
| 14 | Nao tem raizes reais | 31 | 5 | 48 | pH = 3 |
| 15 | (0, 7) | 32 | 3 | 49 | R$ 12,50 |
| 16 | 8 | 33 | 8 | 50 | ~8 meses |
| 17 | x² - 7x + 10 = 0 | 34 | x = 32 |
Erros Comuns que Voce Deve Evitar
Ao longo dos 50 exercicios, existem erros que se repetem com muita frequencia entre os alunos. Conhecer esses erros e a primeira forma de evita-los. A tabela abaixo apresenta os erros mais comuns, a forma correta de resolve-los e exercicios relacionados para praticar.
Erro 1: Esquecer o sinal negativo no vertice. Muitos alunos calculam b/(2a) em vez de -b/(2a). O sinal de menos e parte da formula e deve ser sempre incluido. Exercicios relacionados: 13, 19, 45.
Erro 2: Confundir funcao afim com funcao quadratica. Funcao afim e de primeiro grau (ax + b). Funcao quadratica e de segundo grau (ax² + bx + c). Nao confunda os coeficientes nem as propriedades. Exercicios relacionados: 1-10 (afim), 11-20 (quadratica).
Erro 3: Achar que log_b(0) = 1. O logaritmo de 0 nao e definido. O erro vem de confundir log_b(1) = 0 com log_b(b) = 1. O argumento do logaritmo deve ser sempre positivo. Exercicios relacionados: 30, 36.
Erro 4: Subtrair porcentagens diretamente. Em descontos e acrescimos sucessivos, nao se subtrai as porcentagens. Calcule cada operacao separadamente sobre a base atual. Exercicio relacionado: 43.
Erro 5: Usar funcao linear para crescimento percentual. Crescimento percentual fixo e exponencial, nao linear. 2% ao ano por 5 anos NAO e 10% de crescimento total. E (1,02)⁵ - 1 ≈ 10,4%. Exercicio relacionado: 46.
Erro 6: Trocar a base do logaritmo. log₂(8) = 3 e log₃(8) ≠ 3. A base do logaritmo e fundamental e determina o resultado. Sempre verifique a base antes de calcular. Exercicios relacionados: 29, 34, 35.
Erro 7: Negligenciar a verificacao de dominio. Em equacoes com logaritmos, o argumento deve ser positivo. Solucoes que tornam o argumento negativo ou zero devem ser descartadas. Exercicio relacionado: 35, 36.
Erro 8: Confundir assintota horizontal com eixo X. Funcoes exponenciais deslocadas verticalmente possuem assintota em y = k (k ≠ 0), nao em y = 0. Exercicio relacionado na teoria de Funcao Exponencial.
Como evitar esses erros
Sempre verifique sua resposta substituindo o resultado na equacao original. Se a verificacao fechar, a resposta esta correta. Em provas, reserve os ultimos 5 minutos para revisar as questoes que voce teve mais duvidas. A verificacao e o escudo contra erros bestes.
Teste seus conhecimentos
Responda as 5 questoes abaixo. Clique na alternativa que voce acredita estar correta. A resposta e explicacao aparecerao imediatamente.
1. Qual o vertice de f(x) = x² - 6x + 8?
2. Qual o valor de log₄(64)?
3. A funcao f(x) = 2ˣ e crescente, decrescente ou constante?
4. Qual o dominio de f(x) = log(x - 5)?
5. Qual o valor do delta de f(x) = x² - 4x + 4?
Estude mais
Revise cada tipo de funcao para entender as solucoes com mais profundidade. Estudar a teoria antes de resolver exercicios aumenta significativamente sua taxa de acerto.
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"Reprovar aluno no Fundamental 1 ajuda ou afunda a criança?"
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