Funcao Quadratica (2o Grau) — Parabola, Vertice e Raizes
Guia completo de funcao quadratica: forma geral, forma reduzida, vertice, eixo de simetria, raizes pela formula de Bhaskara, grafico da parabola, aplicacoes e exercicios interativos.
Funcao Quadratica (2o Grau) — Parabola, Vertice e Raizes
A funcao quadratica descreve uma parabola — uma das curvas mais importantes da matematica. Dominar o vertice, o eixo de simetria e a formula de Bhaskara e essencial pra qualquer prova.
O que e funcao quadratica?
A funcao quadratica e toda funcao do tipo f(x) = ax² + bx + c, onde 'a', 'b' e 'c' sao constantes reais e a ≠ 0. O nome "quadratica" vem do fato de a variavel x aparecer elevada ao quadrado (2o grau). O grafico dessa funcao e uma curva chamada parabola — uma das figuras geometricas mais estudadas e mais presentes na natureza.
A parabola aparece na trajetoria de projeteis (uma bola lancada no ar descreve uma parabola), na forma de antenas parabolicas, nos fios de alta tensao entre torres, nas pistas de skate, nos arcos de pontes. E uma forma que a natureza "escolhe" pra otimizar certos processos — e por isso a funcao quadratica e tao importante na fisica e na engenharia.
Forma geral
f(x) = ax² + bx + c, onde:
• a = coeficiente quadratico (determina se a parabola abre pra cima ou pra baixo e sua "abertura")
• b = coeficiente linear (influencia a posicao horizontal do vertice)
• c = termo independente (e o corte no eixo Y — quando x = 0, f(0) = c)
• a ≠ 0 (se a = 0, nao e quadratica — vira funcao afim)
A forma geral e a mais usada em provas, mas existe tambem a forma reduzida (ou canonica): f(x) = a(x - h)² + k, onde (h, k) e o vertice da parabola. Essa forma e mais pratica pra desenhar o grafico, porque voce ja sabe onde esta o ponto mais importante da curva.
Interprete o valor de 'a'
- a > 0: a parabola abre pra cima (formato de "U"). O vertice e o ponto minimo.
- a < 0: a parabola abre pra baixo (formato de "∩"). O vertice e o ponto maximo.
- |a| grande: a parabola e "estreita" (cresce rapido).
- |a| pequeno: a parabola e "larga" (cresce devagar).
Exemplo comparativo
f(x) = x² → parabola basica, abre pra cima, vertice na origem.
g(x) = -x² → mesma forma, mas invertida (abre pra baixo).
h(x) = 2x² → abre pra cima, mas mais estreita que f(x).
k(x) = 0,5x² → abre pra cima, mas mais larga que f(x).
Na historia da matematica, as equacoes quadraticas ja eram resolvidas pelos babilonios ha cerca de 4.000 anos — embora de forma geometria, sem a notacao algebrica que usamos hoje. A formula de Bhaskara, que conhecemos hoje, foi sistematizada pelo matematico indiano Brahmagupta no seculo VII e refinada por outros matematicos ao longo dos seculos.
Forma reduzida e vertice
A forma reduzida da funcao quadratica e f(x) = a(x - h)² + k. Nessa forma, o ponto (h, k) e o vertice da parabola — o ponto mais alto (se a < 0) ou mais baixo (se a > 0) da curva. O eixo de simetria e a reta vertical x = h.
Transformar a forma geral na forma reduzida e um processo chamado "completar o quadrado". E mais trabalhoso do que usar a formula do vertice diretamente, mas e muito cobrado em provas porque testa seu dominio com manipulacao algebrica.
Formula do vertice (sem completar o quadrado)
h = -b / (2a)
k = f(h) = -Δ / (4a), onde Δ = b² - 4ac
Essa formula e muito mais pratica e cai em 90% das provas.
Exemplo: encontrando o vertice
f(x) = x² - 4x + 3
h: -(-4)/(2·1) = 4/2 = 2
k: f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Vertice: (2, -1). Como a = 1 > 0, e o ponto minimo.
Eixo de simetria: x = 2
O vertice e o ponto mais importante da parabola por tres motivos: e la que a curva muda de direcao, e o ponto de maximo ou minimo, e e o ponto de referencia pra desenhar o grafico. Na hora da prova, encontrar o vertice e o primeiro passo — depois e so determinar se abre pra cima ou pra baixo e calcular os cortes nos eixos.
Eixo de simetria
O eixo de simetria e a reta vertical que divide a parabola em duas metades simetricas. Ele sempre passa pelo vertice. A equacao do eixo de simetria e x = h, ou seja, x = -b/(2a). Qualquer ponto da parabola tem um "ponto espelho" do outro lado do eixo de simetria.
Cuidado: o eixo de simetria e uma reta vertical (x = constante), nao uma parabola. Muita gente confunde e escreve "y = h" ou "x = k". Lembre-se: o eixo e sempre x = h, onde h e a coordenada horizontal do vertice.
Raizes — a formula de Bhaskara
As raizes da funcao quadratica sao os valores de x que fazem f(x) = 0 — ou seja, os pontos onde a parabola corta (ou toca) o eixo X. Encontrar as raizes e um dos exercicios mais classicos da matematica, e a ferramenta principal e a formula de Bhaskara.
Formula de Bhaskara
x = (-b ± √Δ) / (2a)
Onde Δ = b² - 4ac (discriminante ou delta)
O valor do delta determina quantas raizes reais a equacao tem:
| Delta | Situacao | Quantidade de raizes |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Parabola corta o eixo X em 2 pontos | Duas raizes reais distintas |
| Δ = 0 | Parabola toca o eixo X em 1 ponto | Uma raiz dupla (repetida) |
| Δ < 0 | Parabola nao toca o eixo X | Nao tem raiz real (raizes complexas) |
Exemplo completo: Bhaskara passo a passo
f(x) = x² - 5x + 6
Passo 1: Δ = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1
Passo 2: Como Δ = 1 > 0, tem duas raizes reais.
Passo 3: x = (5 ± √1) / (2·1) = (5 ± 1) / 2
Raizes: x₁ = (5+1)/2 = 3 e x₂ = (5-1)/2 = 2
Verificacao: f(3) = 9 - 15 + 6 = 0 ✓ e f(2) = 4 - 10 + 6 = 0 ✓
A formula de Bhaskara funciona pra qualquer equacao de segundo grau, mesmo quando as raizes nao sao numeros "bonitos". Se Δ nao for um quadrado perfeito, as raizes serao numeros irracionais — e nesse caso, o ENEM pede pra deixar na forma com raiz. Por exemplo: x = (3 ± √5)/2.
Relacao de Girard
Existe uma propriedade interessante: a soma das raizes e igual a -b/a, e o produto das raizes e igual a c/a. Essa propriedade, chamada Relacao de Girard, e muito util em provas que pedem a soma ou o produto das raizes sem pedir pra calcular cada uma separadamente.
Relacao de Girard
x₁ + x₂ = -b/a (soma das raizes)
x₁ · x₂ = c/a (produto das raizes)
Essa propriedade e valiosa em provas do ENEM.
Cortes nos eixos
Os cortes da parabola com os eixos sao pontos importantes pra desenhar o grafico e pra resolver problemas. Ja vimos que o corte no eixo Y e facil: basta fazer x = 0, e o resultado e c. O corte no eixo X e justamente o que Bhaskara resolve — sao as raizes da equacao.
Corte no eixo Y
Faca x = 0: f(0) = a·0² + b·0 + c = c. Ponto: (0, c). Sempre. Independente de 'a' e 'b'.
Corte no eixo X
Faca f(x) = 0 e resolva a equacao de segundo grau com Bhaskara. Pode ter 0, 1 ou 2 cortes, dependendo do sinal do delta.
Exemplo: todos os cortes
f(x) = x² - 2x - 3
Corte no Y: f(0) = -3 → ponto (0, -3)
Corte no X: Δ = 4 + 12 = 16. x = (2 ± 4)/2 → x = 3 ou x = -1. Pontos: (3, 0) e (-1, 0)
Vertice: h = 2/2 = 1, k = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4. Vertice: (1, -4)
Na hora de desenhar o grafico, recomendo seguir essa ordem: 1) calcule o vertice, 2) calcule o corte no Y, 3) calcule os cortes no X (se existirem), 4) desenhe a parabola passando por esses pontos. Com essas informacoes, voce ja tem um grafico muito preciso.
Aplicacoes reais da funcao quadratica
A funcao quadratica nao e so abstrata — ela descreve fenomenos reais de forma precisa. Aqui vao os principais exemplos que caem em provas:
Trajetoria de projeteis
Quando voce lanca um objeto no ar, a trajetoria e uma parabola. A altura (y) em funcao do tempo (x) e uma funcao quadratica. Se voce lanca uma bola com velocidade inicial v₀ e angulo θ, a funcao que descreve a altura e do tipo f(x) = -g/2 · x² + v₀·sen(θ) · x + h₀, onde g e a aceleracao da gravidade.
Area maxima
Um problema classico: dado um fio de comprimento L, qual o retangulo de maior area que voce pode fazer? A area e uma funcao quadratica, e o maximo acontece no vertice. Esse tipo de problema eissimo em provas do ENEM.
Lucro e prejuizo
Em negocios, o lucro em funcao do preco de venda muitas vezes e quadratica. A empresa quer encontrar o preco que maximiza o lucro — e isso e o vertice da parabola.
Caso classico: area maxima com fio
Um agricultor tem 60 metros de cerca e quer cercar um retangulo de area maxima contra um barranco (o barranco faz uma das laterais — nao precisa de cerca).
Se x e a largura, o comprimento e 60 - 2x. Area: A(x) = x(60 - 2x) = -2x² + 60x
Vertice: x = -60/(2·(-2)) = 15 metros. Comprimento = 60 - 30 = 30 metros.
Area maxima: 15 × 30 = 450 m²
A funcao quadratica e a base da fisica classica, da engenharia civil e da economia. Dominar o vertice, Bhaskara e o grafico nao e so questao de prova — e questao de entender como o mundo ao nosso redor funciona.
Pratique agora — Exercicios de Funcao Quadratica
10 exercicios pra fixar o conteudo. Cada um com explicacao detalhada.
1. Qual e o coeficiente quadratico de f(x) = 2x² - 4x + 3?
2. Calcule o delta de f(x) = x² - 3x - 10.
3. Qual a coordenada horizontal (h) do vertice de f(x) = x² - 4x + 1?
4. Quais sao as raizes de x² - 5x + 6 = 0?
5. Se a > 0, a parabola abre pra cima e o vertice e:
6. Quantas raizes reais tem f(x) = x² + 4?
7. Em qual ponto f(x) = 2x² + 3x - 5 corta o eixo Y?
8. Se as raizes de x² - 7x + 10 = 0 sao x₁ e x₂, quanto vale x₁ + x₂?
9. Qual e o vertice de f(x) = x² - 6x + 8?
10. Um retangulo tem perimetro de 80 m e uma das laterais fica contra uma parede. Qual a largura que maximiza a area?
Continue estudando
Depois de dominar a funcao quadratica, avance pros proximos topicos:
Tags
"Reprovar aluno no Fundamental 1 ajuda ou afunda a criança?"
Compartilhar conteúdo