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Geometria Analítica

Matemática 3ª Série EM Geometria Analítica 10 questoes

Atividade de Matemática para 3ª Série EM sobre Geometria Analítica. Pronta para imprimir, editar e compartilhar no CriarProvas.

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Informacoes Pedagogicas

Alinhamento BNCC

EM13MAT04EM13MAT07EM13MAT10

Sobre esta atividade

Atividade sobre Geometria Analítica para o Ensino Médio, abordando o plano cartesiano, distância entre pontos, ponto médio, alinhamento de pontos, equações da reta, coeficientes angular e linear, retas paralelas e perpendiculares, área do triângulo e equação da circunferência.

O que ensinar

Compreender o plano cartesiano como sistema de localização; calcular distância entre dois pontos e ponto médio; verificar o alinhamento de três pontos; determinar equações geral e reduzida da reta; interpretar coeficientes angular e linear; identificar retas paralelas e perpendiculares; calcular área de triângulo por determinante; reconhecer e manipular equações da circunferência nas formas reduzida e geral.

Conteudo abordado

A Geometria Analítica, desenvolvida por René Descartes, estabelece uma ponte entre a Álgebra e a Geometria, representando figuras geométricas por meio de equações. O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares: o eixo x (abscissas) e o eixo y (ordenadas). Um ponto P no plano é representado por um par ordenado (x, y). A distância entre dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) é calculada pela fórmula d = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²]. O ponto médio M entre A e B é dado por M = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2). Três pontos A, B e C estão alinhados (colineares) se o determinante da matriz formada por suas coordenadas for igual a zero: |xA yA 1; xB yB 1; xC yC 1| = 0. A equação geral da reta é ax + by + c = 0, com a e b não simultaneamente nulos. A equação reduzida é y = mx + n, onde m é o coeficiente angular (m = Δy/Δx = (yB - yA)/(xB - xA)) e n é o coeficiente linear (ponto onde a reta intercepta o eixo y). O coeficiente angular m = tg θ, onde θ é o ângulo que a reta forma com o eixo x. Retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular (m1 = m2). Retas perpendiculares têm coeficientes angulares que satisfazem m1 · m2 = -1. A área de um triângulo de vértices A, B e C é dada por A = ½|D|, onde D é o determinante |xA yA 1; xB yB 1; xC yC 1|. A equação reduzida da circunferência com centro C(a, b) e raio R é (x - a)² + (y - b)² = R². A equação geral é x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - R²) = 0. Para encontrar centro e raio a partir da equação geral, utiliza-se o método de completamento de quadrados.

Como ensinar

Iniciar com problemas contextualizados de localização no plano cartesiano. Usar malha quadriculada e softwares de geometria dinâmica (GeoGebra) para explorar conceitos visualmente. Propor atividades práticas como calcular distâncias reais entre pontos no mapa da cidade. Utilizar exemplos interdisciplinares com Física (lançamento oblíquo, posição e trajetória). Resolver problemas de otimização que envolvam ponto médio e distância. Para retas, trabalhar com o conceito de inclinação e taxa de variação. Explorar paralelismo e perpendicularismo em contextos arquitetônicos e de design.

Maiores dificuldades

Confundir as coordenadas x e y no par ordenado e na aplicação das fórmulas. Erro ao calcular o determinante para verificar alinhamento de pontos ou área do triângulo. Dificuldade em isolar y para obter a equação reduzida da reta a partir da equação geral. Dificuldade em interpretar o significado geométrico do coeficiente angular. Erro ao completar quadrados para obter a equação reduzida da circunferência. Confundir a condição de perpendicularismo (m1·m2 = -1) com a de paralelismo (m1 = m2).

Banca

Geometria Analítica

Superior

Inferior

Esquerda

Direita

Questoes

Alternativas

Geometria Analítica

Matemática · Geometria Analítica · 3ª Série EM · 2026

Leia atentamente todas as questões antes de responder.

Nome

Turma

Data

1. Complete: 'Dados os pontos A(3, 5) e B(-1, 2), a distância entre eles é _________'

A) 5, pois √[(-1-3)² + (2-5)²] = √(16 + 9) = √25 = 5

B) 7, pois √[(-1-3)² + (2-5)²] = √(16 + 9) = √25 = 7, calculando-se incorretamente a raiz

C) √41, pois √[(3+1)² + (5+2)²] = √(16 + 49) = √65, confundindo os sinais na diferença

D) √15, pois √[(3-(-1))² + (5-2)²] = √(4² + 3²) = √(8 + 9) = √17, errando o quadrado de 4 como 8

2. Complete: 'O ponto médio do segmento que une os pontos P(4, -2) e Q(2, 6) é _________'

A) (3, 2), pois M = ((4+2)/2, (-2+6)/2) = (6/2, 4/2) = (3, 2)

B) (1, 4), pois M = ((4-2)/2, (-2-6)/2) = (2/2, -8/2) = (1, -4), confundindo a fórmula

C) (6, 4), pois M = (4+2, -2+6) = (6, 4), esquecendo de dividir por 2

D) (2, 3), pois M = ((4-2)/2, (6-(-2))/2) = (2/2, 8/2) = (1, 4), invertendo a subtração

3. Complete: 'Os pontos A(2, 1), B(5, 3) e C(8, 5) são _________'

A) colineares, pois o determinante |2 1 1; 5 3 1; 8 5 1| = 2(3-5) - 1(5-8) + 1(25-24) = -4 + 3 + 1 = 0

B) não colineares, pois o determinante é diferente de zero, formando um triângulo de área 2

C) colineares apenas se A e C forem unidos por uma reta que não passa por B

D) vértices de um triângulo retângulo, pois o coeficiente angular entre A e C é diferente do entre A e B

4. Complete: 'A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(1, 3) e B(3, 7) é _________'

A) y = 2x + 1, pois m = (7-3)/(3-1) = 4/2 = 2 e n = y - mx = 3 - 2·1 = 1

B) y = x + 2, pois m = (7-3)/(3-1) = 4/2 = 2, mas calcula-se n como 3 - 1 = 2, errando o coeficiente

C) y = 4x - 1, pois m = 7-3 = 4, confundindo Δy com o coeficiente angular

D) y = 2x + 3, pois utiliza-se n = 3 sem subtrair mx, confundindo n com a coordenada y do ponto A

5. Complete: 'Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares é igual a -1. Se uma reta r tem equação y = 3x + 2, a equação de uma reta s perpendicular a r que passa pelo ponto P(0, 4) é _________'

A) y = -x/3 + 4, pois m_s = -1/3 (já que 3·(-1/3) = -1) e n = 4 - (-1/3)·0 = 4

B) y = 3x + 4, pois retas perpendiculares têm o mesmo coeficiente angular, confundindo perpendicularismo com paralelismo

C) y = -3x + 4, pois acredita-se que m_s = -m_r, quando na verdade m_s = -1/m_r

D) y = x/3 + 4, pois pensa-se que m_s = 1/m_r, ignorando o sinal negativo na condição de perpendicularismo

6. Complete: 'A área do triângulo de vértices A(1, 0), B(4, 4) e C(7, 1) é _________'

A) 12, pois D = |1 0 1; 4 4 1; 7 1 1| = 1(4-1) - 0(4-7) + 1(4-28) = 3 + 0 - 24 = -21, e A = ½·21 = 10,5; desconsiderou-se o módulo e errou-se o cálculo

B) 21, pois calcula-se D = 42 e A = 42/2 = 21, errando o determinante por não usar a terceira coluna corretamente

C) 10,5, pois D = |1 0 1; 4 4 1; 7 1 1| = 1(4-1) - 0(4-7) + 1(4-28) = 3 + 0 - 24 = -21, e A = ½·|-21| = 10,5

D) 7,5, pois calcula-se D = |1 0; 4 4| = 4, ignorando a terceira coluna e calculando apenas o determinante 2x2

7. Complete: 'A equação reduzida da circunferência com centro em C(2, -3) e raio 5 é _________'

A) (x - 2)² + (y + 3)² = 25, aplicando corretamente (x - a)² + (y - b)² = R² com a = 2, b = -3 e R = 5

B) (x + 2)² + (y - 3)² = 5, confundindo os sinais do centro e colocando o raio sem elevar ao quadrado

C) (x - 2)² + (y - 3)² = 25, trocando o sinal de y ao substituir b = -3, resultando em (y - (-3))² = (y + 3)², não (y - 3)²

D) x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0, que é a equação geral correta após expandir, mas a questão pede a reduzida

8. Complete: 'Os coeficientes angular (m) e linear (n) da reta de equação 2x + 3y - 6 = 0 são, respectivamente, _________'

A) -2/3 e 2, pois isolando y: 3y = -2x + 6 → y = -2x/3 + 2, portanto m = -2/3 e n = 2

B) 2/3 e -2, pois isola-se y como y = 2x/3 - 2, errando o sinal ao passar 2x para o outro lado

C) 2 e -6, pois confunde-se os coeficientes da equação geral a e c com m e n da reduzida

D) -2 e 6, pois divide-se todos os coeficientes por 3 sem isolar y, obtendo 2x/3 + y - 2 = 0

9. Complete: 'A equação geral da circunferência x² + y² - 8x + 4y - 5 = 0 tem centro e raio iguais a _________'

A) C(4, -2) e R = 5, pois completando quadrados: (x² - 8x) + (y² + 4y) = 5 → (x-4)² - 16 + (y+2)² - 4 = 5 → (x-4)² + (y+2)² = 25

B) C(-4, 2) e R = 5, confundindo (x-4)² com (x+4)² e (y+2)² com (y-2)² ao completar quadrados

C) C(4, -2) e R = √5, esquecendo de somar os termos completados ao lado direito da equação

D) C(-8, 4) e R = √5, utilizando os coeficientes de x e y diretamente como coordenadas do centro, sem completar quadrados

10. Um engenheiro precisa projetar uma rampa que ligue dois pontos em um plano cartesiano: o ponto A(0, 0), no solo, e o ponto B(12, 4), no topo de uma plataforma. A rampa deve ser retilínea e a prefeitura exige que rampas com inclinação superior a 30° recebam um revestimento antiderrapante especial. Considerando que a inclinação da rampa é dada pelo ângulo θ que ela forma com o eixo horizontal, determine: a) O coeficiente angular da reta que representa a rampa. b) O ângulo de inclinação θ (use arctg e aproxime para o grau mais próximo, sabendo que arctg(1/3) ≈ 18,4° e arctg(1/2) ≈ 26,6°). c) Se a rampa necessita ou não do revestimento antiderrapante especial, justificando sua resposta. d) O comprimento da rampa (distância entre A e B).