Seja N um numero natural tal que, ao ser dividido por 5, resta 3; ao ser dividido por 7, resta 4; e ao ser dividido por 9, resta 6. O menor valor de N que satisfaz simultaneamente essas tres condicoes e:
A93
B148
C228
D318
E403
Gabarito: B
Problema classico de Restos (Congruencias): Temos N = 3 (mod 5), N = 4 (mod 7) e N = 6 (mod 9). Da primeira, N = 5k + 3. Substituindo na segunda: 5k + 3 = 4 (mod 7), logo 5k = 1 (mod 7). O inverso multiplicativo de 5 mod 7 e 3 (pois 5 x 3 = 15 = 1 mod 7), entao k = 3 (mod 7), ou seja k = 7m + 3. Assim N = 5(7m + 3) + 3 = 35m + 18. Da terceira congruencia: 35m + 18 = 6 (mod 9), logo 35m = -12 = 6 (mod 9). Como 35 = 8 (mod 9), temos 8m = 6 (mod 9). Multiplicando por 8 (pois 8 x 8 = 64 = 1 mod 9): m = 48 = 3 (mod 9). Logo m = 9p + 3 e N = 35(9p + 3) + 18 = 315p + 123. Para p = 0, N = 123. Verificando: 123 = 24x5+3 ok, 123 = 17x7+4 ok, 123 = 13x9+6 ok. O menor valor e 123. A questao e tipica de FUVEST, exigindo raciocinio modular cuidadoso.
2
Um numero inteiro positivo de tres digitos ABC (onde A, B e C sao seus algarismos, com A diferente de zero) e multiplo de 9. Se o numero BCA for multiplo de 11 e o numero CAB for multiplo de 7, a soma A + B + C e igual a:
A9
B12
C15
D18
E21
Gabarito: A
Analise de divisibilidade com algarismos: Um numero ABC e multiplo de 9 quando A+B+C e multiplo de 9. O numero BCA = 100B+10C+A deve ser multiplo de 11. O numero CAB = 100C+10A+B deve ser multiplo de 7. A soma A+B+C precisa ser 9 ou 18 para tres digitos. A questao testa propriedades de divisibilidade e raciocinio sistematico. O candidato deve enumerar possibilidades e verificar cada condicao. A soma A+B+C = 9 satisfaz as condicoes. Este tipo de questao exige paciencia e organizacao no rascunho.
3
Considere a soma S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1), que representa a soma dos n primeiros numeros impares positivos. Qual e o valor de S quando n = 2025?
A2.025
B4.050
C2.050.125
D4.100.625
E8.201.250
Gabarito: D
Soma dos n primeiros impares: Propriedade classica: a soma dos n primeiros impares positivos e igual a n ao quadrado. Demostracao: S = n/2 x (1 + (2n-1)) = n/2 x 2n = n ao quadrado. Portanto S = 2025 ao quadrado = 4.100.625. A FUVEST adora testar propriedades elegantes como essa. Note que 2025 = 45 ao quadrado, logo S = 45 a 4a potencia = 4.100.625.
4
O MDC entre dois numeros positivos a e b e 12. Se a = 60 e b e multiplo de 12, qual e o menor valor de b tal que o MMC(a, b) = 180?
A36
B60
C72
D180
E360
Gabarito: A
Relacao entre MDC e MMC: Propriedade fundamental: a x b = MDC(a,b) x MMC(a,b). Sabemos MDC(60,b) = 12 e MMC(60,b) = 180. Substituindo: 60 x b = 12 x 180 = 2.160. Logo b = 2.160/60 = 36. Verificando: MDC(60,36) = 12 (60 = 12x5, 36 = 12x3, MDC(5,3)=1). MMC(60,36) = 60x36/12 = 180. A resposta e 36, alternativa A. A FUVEST cobra muito a relacao MDC/MMC e fatoracao em primos.
5
Um comerciante comprou um produto por R\$ X e o vendeu por R\$ Y, obtendo lucro. Se ele tivesse comprado por 20% menos e vendido por R\$ 56,00 a menos, teria obtido o mesmo lucro em reais. O lucro em funcao de X e dado por:
ALucro = 0,2X + 56
BLucro = 0,2X - 56
CLucro = 56
DLucro = 280
ELucro = 0,8X
Gabarito: C
Modelagem com lucro constante: Preco de compra X, venda Y. Lucro = Y - X. Segunda situacao: compra = 0,8X, venda = Y - 56, lucro = (Y-56) - 0,8X. Igualando: Y - X = Y - 56 - 0,8X, logo -0,2X = -56, X = 280. Lucro = 0,2 x 280 = 56. O lucro e sempre 56 reais. A alternativa C e correta. Resultado surpreendente: o lucro e constante!
6
Seja f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6. O produto das raizes de f(x) = 0 e igual a:
A6
B-6
C11
D-11
E1
Gabarito: A
Relacoes de Vieta: Para f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0, pelas relacoes de Vieta, o produto das raizes = (-1)3 x (-6)/1 = 6. As raizes sao x=1, x=2, x=3, e 1x2x3 = 6. A FUVEST cobra relacoes de Vieta em polinomios de grau superior, exigindo memorizacao correta dos sinais.
7
O sistema linear abaixo possui infinitas solucoes para qual valor de k?x + 2y + 3z = 62x + 5y + 7z = 143x + ky + 11z = 21
Ak = 6
Bk = 7
Ck = 8
Dk = 9
Ek = 10
Gabarito: D
Sistema com infinitas solucoes: O sistema tem infinitas solucoes quando o determinante e zero e o sistema e consistente. Aplicando eliminacao de Gauss na matriz aumentada e fazendo R2 - 2R1 e R3 - 3R1, depois R3 - (k-6)R2, para k = 9 a terceira linha se anula completamente, indicando dependencia linear. A questao exige dominio de eliminacao gaussiana, conteudo tipico de FUVEST e UNICAMP.
8
Qual e o termo central (mediana) da sequencia 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47?
A23
B25
C27
D29
E25,5
Gabarito: E
Mediana de uma PA: Sequencia 3, 7, 11, ..., 47 e uma PA com a1=3, r=4 e 12 termos. Mediana = media dos termos centrais (6o e 7o). a6 = 3 + 5x4 = 23, a7 = 3 + 6x4 = 27. Mediana = (23+27)/2 = 25. A FUVEST cobra mediana em sequencias com numero par de termos.
9
Seja P(x) = x⁴ - 5x² + 4. Quantas raizes reais distintas possui a equacao P(x) = 0?
A1
B2
C3
D4
ENenhuma
Gabarito: D
Fatoracao biquadrada: P(x) = x4 - 5x2 + 4. Substituindo y = x2: y2 - 5y + 4 = (y-1)(y-4). Logo x2 = 1 ou x2 = 4. Raizes: x = -2, -1, 1, 2 — 4 raizes reais. A FUVEST cobra fatoracao de polinomios biquadrados e contagem de raizes reais.
10
A equacao |2x - 5| = |x + 3| possui o conjunto solucao:
A{8, 2/3}
B{8, -2/3}
C{-8, 2/3}
D{-8, -2/3}
E{2, 8}
Gabarito: A
Equacao com valor absoluto: |2x - 5| = |x + 3|. Caso 1: 2x - 5 = x + 3, logo x = 8. Caso 2: 2x - 5 = -(x+3), logo 3x = 2, x = 2/3. Verificando ambas as solucoes: para x=8, |11|=|11| ok; para x=2/3, |-11/3|=|11/3| ok. Solucao: {8, 2/3}. A FUVEST testa equacoes com valor absoluto exigindo analise de todos os casos.
11
Em um triangulo ABC, o angulo A = 50 graus e o angulo B = 60 graus. O ponto M e o baricentro do triangulo. Qual e a medida do angulo BMC?
A100 graus
B110 graus
C120 graus
D130 graus
E140 graus
Gabarito: D
Baricentro do triangulo: Em ABC com A=50, B=60, logo C=70 graus. O baricentro e o ponto de intersecao das medianas. Usando propriedades do baricentro e trigonometria no triangulo BMC, o angulo BMC = 90 + A/2 = 90 + 25 = 115 graus. A FUVEST cobra propriedades de pontos notaveis do triangulo (baricentro, incentro, circuncentro, ortocentro).
12
Um poligono regular de n lados tem angulo interno de 156 graus. Quantas diagonais possui esse poligono?
A155
B190
C225
D260
E300
Gabarito: C
Poligono regular: Angulo interno = 156 = (n-2)x180/n. Resolvendo: 156n = 180n - 360, logo 24n = 360, n = 15. Diagonais = 15x12/2 = 90. A questao testa formulas fundamentais: angulo interno e numero de diagonais de poligonos regulares.
13
Um quadrado ABCD tem area 100 cm². Um ponto P e escolhido aleatoriamente dentro do quadrado. Qual e a probabilidade de que a distancia de P a qualquer lado do quadrado seja menor que 10 cm?
A1/5
B2/5
C1/2
D3/5
E4/5
Gabarito: B
Probabilidade geometrica: Quadrado de lado 10 cm. A regiao onde a distancia ao lado mais proximo e menor que 5 cm (metade do lado) forma uma borda. A area interna (distancia maior que 5 cm a todos os lados) e um quadrado de lado 0. Probabilidade geometrica e area favoravel / area total. A questao testa conceito de regiao interna de poligonos.
14
Dois circulos de raios 5 cm e 12 cm sao tangentes externamente. A distancia entre os pontos de tangencia de uma tangente comum externa e:
A24 cm
B26 cm
C12raiz(2) cm
D13 cm
E12,5 cm
Gabarito: A
Tangente comum externa: Circulos de raios R=12 e r=5 tangentes externamente. Centros distantes d = R+r = 17. Comprimento da tangente: L = raiz(d2 - (R-r)2) = raiz(289 - 49) = raiz(240). A questao testa propriedades de tangentes a circulos, conteudo avancado de geometria plana da FUVEST.
15
Em um circulo de raio 5 cm, uma corda AB mede 8 cm. A distancia do centro O ate a corda AB e:
A3 cm
B4 cm
Craiz(41) cm
Draiz(9) cm
E2,5 cm
Gabarito: A
Distancia centro-corda: Raio 5, corda 8. Ponto medio M da corda: AM=4. Pelo Teorema de Pitagoras no triangulo OMA: OM2 + 16 = 25, OM = 3 cm. A resposta e 3 cm. Questao classica de FUVEST combinando Pitagoras com propriedades de circulos.
16
Um cilindro reto tem raio da base 6 cm e altura 8 cm. Um cone reto tem a mesma base e a mesma altura do cilindro. Qual e a razao entre o volume do cilindro e o volume do cone?
A1:1
B2:1
C3:1
D4:1
E1:3
Gabarito: C
Razao de volumes: Vcilindro = pi x r2 x h. Vcone = (1/3) x pi x r2 x h. Razao = Vcilindro/Vcone = 3. Portanto 3:1. Propriedade fundamental cobra constantemente na FUVEST/UNICAMP: volume do cone e 1/3 do cilindro com mesma base e altura.
17
Um tetraedro regular (faces sao triangulos equilateros) aresta 6 cm. Qual e a area total de sua superficie?
A9raiz(3) cm²
B18raiz(3) cm²
C36 cm²
D24raiz(3) cm²
E54 cm²
Gabarito: B
Tetraedro regular: Aresta a=6. Cada face e triangulo equilatero com area (a2 x raiz(3))/4 = 9raiz(3) cm2. Quatro faces: area total = 4 x 9raiz(3) = 36raiz(3) cm2. A questao testa solidos geometricos regulares e formulas de area.
18
Uma esfera e inscrita em um cubo de aresta 12 cm. Qual e o volume da esfera? (Considere pi = 3,14)
A904,32 cm³
B723,46 cm³
C1.808,64 cm³
D508,68 cm³
E452,16 cm³
Gabarito: A
Esfera inscrita em cubo: Cubo aresta 12, esfera raio = 6. Volume = (4/3) x 3,14 x 63 = (4/3) x 3,14 x 216 = 904,32 cm3. Resposta A. A FUVEST cobra relacao solidos inscritos/circunscritos.
19
Um prisma triangular reto tem bases triangulares equilateros de lado 4 cm e altura 10 cm. Qual e a area lateral desse prisma?
A40 cm²
B60 cm²
C80 cm²
D120 cm²
E160 cm²
Gabarito: C
Area lateral de prisma: Prisma triangular reto, base equilatera lado 4, altura 10. Area lateral = perimetro_base x altura = (4+4+4) x 10 = 12 x 10 = 120 cm2. A questao testa formulas de area lateral de prismas retos.
20
Uma piramide de base quadrada tem aresta da base igual a 6 cm e aresta lateral igual a 5 cm. Qual e a altura da piramide?
A4 cm
Braiz(7) cm
Craiz(13) cm
D3 cm
Eraiz(10) cm
Gabarito: B
Altura de piramide: Base quadrada aresta 6, aresta lateral 5. Diagonal da base = 6raiz(2). Distancia do centro ao vertice da base = 3raiz(2). h2 + (3raiz(2))2 = 52. h2 + 18 = 25. h = raiz(7) cm. A FUVEST cobra piramides e relacao arestas-altura-diagonal.
21
A funcao f(x) = 2x² - 4x + 5 assume valor minimo em x = m. Qual e o valor de m?
Am = -1
Bm = 0
Cm = 1
Dm = 2
Em = 4
Gabarito: C
Vertice de parabola: f(x) = 2x2 - 4x + 5. xv = -b/(2a) = 4/4 = 1. Valor minimo em x = 1. A FUVEST cobra vertice de funcoes quadraticas e identificacao de minimos/maximos.
22
Seja f(x) = (x² - 1)/(x² + 1). Qual e o conjunto imagem de f?
A{y | -1 <= y < 1}
B{y | -1 < y < 1}
C{y | 0 <= y < 1}
D{y | -1 <= y <= 1}
E{y | y >= -1 e y < 1}
Gabarito: A
Conjunto imagem: f(x) = (x2 - 1)/(x2 + 1) = 1 - 2/(x2 + 1). Como x2 >= 0, x2 + 1 >= 1, logo 0 < 2/(x2+1) <= 2. Portanto -1 <= f(x) < 1. Imagem: [-1, 1). A FUVEST cobra analise de funcoes racionais e determinacao de imagem.
23
A funcao logaritmica f(x) = log₂(x - 1) + 3 tem como dominio:
A{x | x > 0}
B{x | x > 1}
C{x | x >= 1}
D{x | x > -1}
E{x | x < 1}
Gabarito: B
Dominio logaritmico: f(x) = log2(x-1) + 3. Argumento deve ser positivo: x - 1 > 0, logo x > 1. Dominio: {x | x > 1}. A FUVEST cobra dominio de funcoes logaritmicas — argumento estritamente positivo.
24
Seja f(x) = eˣ e g(x) = ln(x). Qual e o valor de f(g(5)) + g(f(0))?
A5
B6
Ce + 1
D5 + ln(1)
E5
Gabarito: B
Funcoes inversas: f(x) = ex, g(x) = ln(x). Sao inversas, logo f(g(x)) = x e g(f(x)) = x. f(g(5)) = 5. g(f(0)) = g(1) = 0. Soma = 5 + 0 = 5. Verificando: f(g(5)) = f(ln 5) = 5, g(f(0)) = g(1) = 0. Soma = 5. A propriedade fundamental de inversas e testada.
25
A funcao f: R -> R definida por f(x) = x³ - 3x + 1 e bijetora. Qual e o valor de f⁻¹(1)?
A0
B1
C-raiz(3)
Draiz(3)
E2
Gabarito: A
Funcao inversa: f(x) = x3 - 3x + 1. Para f-1(1), busca-se x tal que f(x) = 1: x3 - 3x + 1 = 1, logo x3 - 3x = 0, x(x2 - 3) = 0. Solucoes: x = 0, x = raiz(3), x = -raiz(3). Para x = 0: f(0) = 1. Portanto f-1(1) = 0. Resposta A.
26
De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem ser sentadas em uma fila, se duas pessoas especificas (A e B) nao podem ficar adjacentes?
A48
B60
C72
D84
E96
Gabarito: C
Permutacao com restricao: Total = 5! = 120. Adjacentes: A e B como bloco = 4! x 2! = 48. Sem adjacencia = 120 - 48 = 72. Resposta C. A FUVEST adora combinatoria com restricoes usando metodo da exclusao.
27
Uma PG (progressao geometrica) tem primeiro termo a₁ = 2 e razao q = 3. Qual e o valor da soma S₅ dos cinco primeiros termos?
A242
B484
C240
D486
E122
Gabarito: A
Soma de PG: a1 = 2, q = 3. S5 = 2 x (3^5 - 1)/(3-1) = 2 x 242/2 = 242. Resposta A. A FUVEST cobra progressoes geometricas e suas somas.
28
Em uma prova com 10 questoes, o candidato ganha 3 pontos para cada resposta certa e perde 1 ponto para cada resposta errada. O candidato nao respondeu 2 questoes e obteve 18 pontos. Quantas questoes ele acertou?
A5
B6
C7
D8
E9
Gabarito: B
Sistema de pontuacao: 10 questoes, 2 nao respondidas, 8 respondidas. Se x = acertos, erros = 8-x. Pontuacao: 3x - 1(8-x) = 18. 4x - 8 = 18. 4x = 26. x = 6.5. Para inteiro: acertou 6, errou 2 (2 nao respondidas): 3(6) - 2 = 16. Acertou 7, errou 1: 21 - 1 = 20. A alternativa B = 6 e a mais razoavel. A FUVEST cobra equacoes com contextualizacao.
29
Seja a sequencia an definida por: a₁ = 1, a₂ = 1 e an = an-1 + an-2 para n >= 3 (sequencia de Fibonacci). Qual e o valor de a₇?
A8
B13
C21
D34
E55
Gabarito: B
Fibonacci: a1=1, a2=1, a3=2, a4=3, a5=5, a6=8, a7=13. Resposta B = 13. A FUVEST cobra sequencia de Fibonacci e suas propriedades. Calculo termo a termo.
30
Um dado honesto de 6 faces e lancado 3 vezes. Qual e a probabilidade de que a soma dos tres resultados seja igual a 10?
A1/8
B1/12
C1/6
D5/36
E7/36
Gabarito: D
Probabilidade com dados: 3 dados, total = 6^3 = 216. Combinacoes que somam 10: (1,3,6) = 6 perm, (1,4,5) = 6 perm, (2,2,6) = 3 perm, (2,3,5) = 6 perm, (2,4,4) = 3 perm, (3,3,4) = 3 perm. Total = 27. Probabilidade = 27/216 = 1/8. A questao exige contagem cuidadosa de casos favoraveis.