Como usar este material

Este arquivo contem 40 exercicios de trigonometria organizados por nivel de dificuldade. Comece pelos exercicios basicos e va avancando. Cada exercicio tem a resolucao completa com explicacoes passo a passo — tente resolver sozinho antes de olhar a resposta.

A estrategia ideal e: leia o enunciado, tente resolver no papel, e so depois confira a resolucao. Se voce errou, analise onde errou e refaca o exercicio. Repeticao e a chave do sucesso em trigonometria.

Um conselho valioso: sempre verifique se o angulo esta em graus ou radianos antes de comecar a resolver. O erro mais comum e confundir sen com cosseno ou aplicar a formula errada por nao ter identificado corretamente os dados do problema.

Exercicios 1-10: Razoes Trigonometricas (Facil)

Estes exercicios cobrem os conceitos fundamentais de trigonometria. Se voce ainda tem duvidas sobre o que sao as razoes trigonometricas, recomendamos revisar a Aula 1: Razoes Trigonometricas. Aqui trabalharemos com angulos especiais (30, 45 e 60 graus) e triangulos retangulos simples.

Exercicio 1

Enunciado: Calcule sen(30°) + cos(60°).

Resolucao:

Sabemos que sen(30°) = 1/2 e cos(60°) = 1/2. Esses valores sao tabelados e memorizados por todos os estudantes de trigonometria.

Portanto: sen(30°) + cos(60°) = 1/2 + 1/2 = 1

Explicacao: Note que sen(30°) = cos(60°), pois angulos complementares tem o seno de um igual ao cosseno do outro. Essa relacao e fundamental e aparece em varios exercicios do ENEM.

Resposta: 1

Exercicio 2

Enunciado: Em um triangulo retangulo, o cateto oposto mede 5 e a hipotenusa mede 13. Calcule sen(θ) e cos(θ).

Resolucao:

As definicoes basicas sao: sen(θ) = cateto oposto / hipotenusa e cos(θ) = cateto adjacente / hipotenusa.

Ja temos: sen(θ) = 5/13.

Para encontrar o cateto adjacente, usamos o Teorema de Pitagoras: cateto adjacente = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12.

Portanto: cos(θ) = 12/13.

Explicacao: Note que 5, 12 e 13 formam uma terna pitagorica. O erro mais comum e trocar o cateto adjacente com o oposto. Sempre desenhe o triangulo e marque os lados antes de aplicar as razoes.

Resposta: sen(θ) = 5/13, cos(θ) = 12/13

Exercicio 3

Enunciado: Calcule tan(45°) · cos(30°).

Resolucao:

Sabemos que tan(45°) = 1 e cos(30°) = √3/2.

Portanto: 1 · √3/2 = √3/2.

Explicacao: A tangente de 45° sempre vale 1 porque os catetos sao iguais nesse angulo. Esse valor e muito usado em simplificacoes e merece ser memorizado.

Resposta: √3/2

Exercicio 4

Enunciado: Se cos(θ) = 3/5 e θ esta no 1o quadrant, quanto vale sen(θ)?

Resolucao:

Pela identidade de Pitagoras: sen²θ + cos²θ = 1.

sen²θ = 1 - cos²θ = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25.

sen(θ) = 4/5 (positivo pois θ esta no 1o quadrant, onde todas as razoes sao positivas).

Explicacao: Lembre-se da regra "Todo Santos Come Cebola" para os sinais no circulo trigonometrico: 1o (todos positivos), 2o (seno), 3o (tangente), 4o (cosseno). Sempre verifique o quadrant antes de tirar a raiz quadrada.

Resposta: 4/5

Exercicio 5

Enunciado: Calcule tan(60°) - tan(30°).

Resolucao:

tan(60°) = √3 e tan(30°) = √3/3.

√3 - √3/3 = 3√3/3 - √3/3 = 2√3/3.

Explicacao: Essa diferenca aparece frequentemente em problemas que envolvem angulos complementares. Observe que tan(60°) = 1/tan(30°), ou seja, sao reciprocos.

Resposta: 2√3/3

Exercicio 6

Enunciado: Qual e o angulo cujo cosseno vale √2/2?

Resolucao:

Pela tabela de angulos especiais: cos(45°) = √2/2.

Portanto θ = 45°.

Explicacao: O valor √2/2 aparece sempre ligado ao angulo de 45°. Note que tambem temos sen(45°) = √2/2. Quando sen e cosseno tem o mesmo valor, o angulo e 45°.

Resposta: 45°

Exercicio 7

Enunciado: Calcule sen(150°).

Resolucao:

150° esta no 2o quadrant. Para encontrar o angulo de referencia: 180° - 150° = 30°.

No 2o quadrant o seno e positivo, logo: sen(150°) = +sen(30°) = 1/2.

Explicacao: A tecnica do angulo de referencia e essencial. Sempre identifique em qual quadrant o angulo se encontra e determine o sinal correspondente. O seno e positivo nos quadrantes 1 e 2.

Resposta: 1/2

Exercicio 8

Enunciado: Se sen(θ) = 12/13 e cos(θ) = -5/13, em que quadrant θ se encontra?

Resolucao:

Analise os sinais: seno positivo e cosseno negativo.

No 1o quadrant: ambos positivos. No 2o quadrant: seno positivo e cosseno negativo. No 3o: ambos negativos. No 4o: seno negativo e cosseno positivo.

Portanto, θ esta no 2o quadrant.

Explicacao: Para confirmar, verifique: (12/13)² + (-5/13)² = 144/169 + 25/169 = 169/169 = 1. A identidade de Pitagoras e satisfeita, confirmando que os valores sao coerentes.

Resposta: 2o quadrant

Exercicio 9

Enunciado: Calcule cos(210°).

Resolucao:

210° esta no 3o quadrant. Angulo de referencia: 210° - 180° = 30°.

No 3o quadrant o cosseno e negativo: cos(210°) = -cos(30°) = -√3/2.

Explicacao: O angulo de 210° equivale a 180° + 30°. No 3o quadrant apenas a tangente e positiva, logo o cosseno e negativo. Esse tipo de exercicio cai muito em provas.

Resposta: -√3/2

Exercicio 10

Enunciado: Calcule sen(90°) · cos(0°) + tan(45°).

Resolucao:

sen(90°) = 1, cos(0°) = 1, tan(45°) = 1.

1 · 1 + 1 = 2.

Explicacao: Esses sao angulos de eixo. No angulo de 90°, o ponto no circulo trigonometrico esta no topo, logo sen = 1 e cos = 0. No angulo de 0°, esta na extrema direita, logo cos = 1 e sen = 0. Sempre verifique se o angulo esta em graus ou radianos para evitar confusoes.

Resposta: 2

Exercicios 11-25: Identidades Trigonometricas (Medio)

Para dominar identidades trigonometricas, e essencial ter memorizadas as principais formulas. Recomendamos revisar a Aula 2: Identidades Trigonometricas antes de enfrentar estes exercicios.

Exercicio 11

Enunciado: Simplifique: sen²θ + cos²θ + tan²θ.

Resolucao:

Pela identidade de Pitagoras: sen²θ + cos²θ = 1.

Pela segunda identidade pitagorica: 1 + tan²θ = sec²θ.

Portanto: sen²θ + cos²θ + tan²θ = 1 + tan²θ = sec²θ.

Explicacao: As tres identidades pitagoricas sao: sen²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, e 1 + cot²θ = csc²θ. Dominar essas tres e fundamental para simplificar expressoes trigonometricas complexas.

Resposta: sec²θ

Exercicio 12

Enunciado: Calcule sen(75°) usando a formula de soma.

Resolucao:

Decomponha 75° = 45° + 30°. A formula de soma para seno e: sen(A + B) = senA·cosB + cosA·senB.

sen(75°) = sen(45° + 30°) = sen45°·cos30° + cos45°·sen30°

= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966

Explicacao: Para angulos que nao estao na tabela de angulos especiais, a estrategia e sempre decompor em soma ou diferenca de angulos especiais (30, 45, 60). Essa habilidade e cobrada frequentemente em concursos.

Resposta: (√6 + √2)/4

Exercicio 13

Enunciado: Se sen(θ) = 3/5, calcule cos(2θ).

Resolucao:

A formula de angulo duplo para cosseno: cos(2θ) = 1 - 2sen²θ.

cos(2θ) = 1 - 2(3/5)² = 1 - 2(9/25) = 1 - 18/25 = 7/25.

Explicacao: A formula de angulo duplo e muito versatil. Existem tres formas equivalentes: cos(2θ) = cos²θ - sen²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sen²θ. Escolha a forma que melhor se adapta aos dados que voce ja possui. Nesse caso, ja tinhamos o seno, entao usamos a terceira forma.

Resposta: 7/25

Exercicio 14

Enunciado: Prove que: (1 - cos²θ) / sen θ = sen θ.

Resolucao:

Pela identidade de Pitagoras: 1 - cos²θ = sen²θ.

Substituindo no numerador: sen²θ / sen θ = sen θ.

Explicacao: Provas de identidades trigonometricas sao frequentes em provas de vestibular. A estrategia geral e transformar um lado da igualdade ate chegar ao outro lado, usando as identidades fundamentais. Comece sempre pelo lado mais complexo.

Resposta: demonstrado

Exercicio 15

Enunciado: Calcule cos(15°) usando a formula de diferenca.

Resolucao:

Decomponha 15° = 45° - 30°. A formula de diferenca para cosseno: cos(A - B) = cosA·cosB + senA·senB.

cos(15°) = cos(45° - 30°) = cos45°·cos30° + sen45°·sen30°

= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966

Explicacao: Interessante notar que sen(75°) = cos(15°). Isso acontece porque 75° e 15° sao angulos complementares. Essa relacao e muito util para simplificar calculos.

Resposta: (√6 + √2)/4

Exercicio 16

Enunciado: Se tan(θ) = 1, quanto vale tan(2θ)?

Resolucao:

A formula de angulo duplo para tangente: tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ).

tan(2θ) = 2(1) / (1 - 1²) = 2/0.

A divisao por zero e impossivel. Portanto, tan(2θ) e indefinido.

Explicacao: Se tan(θ) = 1, entao θ = 45°, logo 2θ = 90°. A tangente de 90° e indefinida porque o cosseno de 90° e zero, e tangente = seno/cosseno. Sempre verifique se o resultado da formula e possivel antes de concluir.

Resposta: Indefinido (90°)

Exercicio 17

Enunciado: Simplifique: sen(2θ) / (2sen θ).

Resolucao:

A formula de angulo duplo: sen(2θ) = 2senθ·cosθ.

2senθ·cosθ / (2senθ) = cosθ (cancelando 2senθ).

Explicacao: Simplificacoes como essa sao comuns em provas. Note que a condicao implicita e que senθ ≠ 0, ou seja, θ ≠ 0°, 180°, 360°... Sempre considere as condicoes de dominio ao simplificar expressoes.

Resposta: cos θ

Exercicio 18

Enunciado: Calcule cos(120°) usando angulo duplo a partir de cos(60°).

Resolucao:

Note que 120° = 2 · 60°.

cos(120°) = cos(2·60°) = 2cos²(60°) - 1 = 2(1/2)² - 1 = 2(1/4) - 1 = 1/2 - 1 = -1/2.

Explicacao: Essa exercicio mostra como a formula de angulo duplo pode ser usada para calcular valores de angulos a partir de outros conhecidos. Tambem poderiamos ter usado a identidade de angulo de referencia: cos(120°) = -cos(60°) = -1/2.

Resposta: -1/2

Exercicio 19

Enunciado: Se sen(θ) = 4/5 e cos(θ) = 3/5, calcule sen(2θ) + cos(2θ).

Resolucao:

Primeiro, calcule sen(2θ): sen(2θ) = 2senθ·cosθ = 2(4/5)(3/5) = 24/25.

Depois, calcule cos(2θ): cos(2θ) = cos²θ - sen²θ = (3/5)² - (4/5)² = 9/25 - 16/25 = -7/25.

sen(2θ) + cos(2θ) = 24/25 + (-7/25) = 17/25.

Explicacao: Note que (4/5)² + (3/5)² = 16/25 + 9/25 = 1, confirmando que sao valores validos. Esse tipo de exercicio combina multiplas formulas e exige atencao ao substituir corretamente.

Resposta: 17/25

Exercicio 20

Enunciado: Prove que: cos(2θ) = 1 - 2sen²θ.

Resolucao:

Partindo da formula de angulo duplo: cos(2θ) = cos²θ - sen²θ.

Substituindo cos²θ = 1 - sen²θ (identidade de Pitagoras):

cos(2θ) = (1 - sen²θ) - sen²θ = 1 - 2sen²θ.

Explicacao: Essa e uma das tres formas da formula de angulo duplo para cosseno. As outras sao cos(2θ) = 2cos²θ - 1 e cos(2θ) = cos²θ - sen²θ. Dominar todas essas formas e essencial para resolver problemas rapidamente.

Resposta: demonstrado

Exercicio 21

Enunciado: Calcule sen(105°) usando a formula de soma.

Resolucao:

Decomponha 105° = 60° + 45°. Usando sen(A + B) = senA·cosB + cosA·senB:

sen(105°) = sen60°·cos45° + cos60°·sen45° = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2)

= √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966

Explicacao: Note que sen(105°) = sen(75°) = cos(15°). Isso porque 105° e 75° sao suplementares (somam 180°), e o seno de angulos suplementares e igual. Essa propriedade e util para simplificar calculos em provas.

Resposta: (√6 + √2)/4

Exercicio 22

Enunciado: Se cos(θ) = 5/13 e θ esta no 4o quadrant, calcule sen(2θ).

Resolucao:

No 4o quadrant o seno e negativo. Pela identidade pitagorica: sen²θ = 1 - (5/13)² = 1 - 25/169 = 144/169.

sen(θ) = -12/13 (negativo no 4o quadrant).

sen(2θ) = 2senθ·cosθ = 2(-12/13)(5/13) = -120/169.

Explicacao: O erro mais comum e esquecer que o seno e negativo no 4o quadrant e calcular sen(θ) = +12/13. Sempre verifique o quadrant antes de determinar o sinal.

Resposta: -120/169

Exercicio 23

Enunciado: Simplifique: (1 + sen(2θ) + cos(2θ)) / (1 + sen(2θ) - cos(2θ)).

Resolucao:

Usando as formulas de angulo duplo: sen(2θ) = 2senθcosθ e cos(2θ) = 2cos²θ - 1.

Numerador: 1 + 2senθcosθ + 2cos²θ - 1 = 2cosθ(senθ + cosθ).

Denominador: 1 + 2senθcosθ - (2cos²θ - 1) = 2 + 2senθcosθ - 2cos²θ = 2(1 + senθcosθ - cos²θ) = 2senθ(senθ + cosθ).

Expressao: 2cosθ(senθ + cosθ) / [2senθ(senθ + cosθ)] = cosθ/senθ = cotθ.

Explicacao: Simplificacoes complexas como essa aparecem em provas mais dificeis. O segredo e sempre substituir as formulas de angulo duplo e depois fatorar o numerador e denominador.

Resposta: cot θ

Exercicio 24

Enunciado: Calcule tan(15°) usando a formula de diferenca.

Resolucao:

tan(15°) = tan(45° - 30°) = (tan45° - tan30°)/(1 + tan45°·tan30°)

= (1 - √3/3)/(1 + 1·√3/3) = (3 - √3)/(3 + √3)

Multiplicando por (3 - √3)/(3 - √3): = (3 - √3)²/(9 - 3) = (9 - 6√3 + 3)/6 = (12 - 6√3)/6 = 2 - √3.

Explicacao: tan(15°) = 2 - √3 ≈ 0,268. Um valor importante de memorizar. Tambem vale notar que tan(75°) = 2 + √3, que e o reciproco de tan(15°) = 1/(2+√3) = 2-√3.

Resposta: 2 - √3

Exercicio 25

Enunciado: Prove que: sen(3θ) = 3senθ - 4sen³θ.

Resolucao:

sen(3θ) = sen(2θ + θ) = sen2θ·cosθ + cos2θ·senθ

= (2senθcosθ)cosθ + (1 - 2sen²θ)senθ

= 2senθcos²θ + senθ - 2sen³θ

= 2senθ(1 - sen²θ) + senθ - 2sen³θ = 2senθ - 2sen³θ + senθ - 2sen³θ

= 3senθ - 4sen³θ.

Explicacao: Essa formula de triplo angulo e menos conhecida mas aparece em provas de vestibulares mais concorridos. O metodo geral e sempre decompor o angulo em soma de dois angulos menores e aplicar as formulas de soma.

Resposta: demonstrado

Exercicios 26-40: Lei do Seno, Lei do Cosseno e Aplicacoes (Dificil)

Estes exercicios envolvem triangulos nao-retangulos e problemas reais. Recomendamos revisar a Aula 3: Lei do Seno e Lei do Cosseno e a Aula 4: Aplicacoes antes de comecar. Tambem pode ser util revisar conceitos de Geometria para problemas que envolvem area e perimetros.

Exercicio 26

Enunciado: Num triangulo, A = 40°, a = 10 e b = 12. Calcule o angulo B.

Resolucao:

Pela Lei do Seno: a/senA = b/senB.

10/sen40° = 12/senB.

senB = 12·sen40°/10 = 12·0,6428/10 = 0,7714.

B = arcsen(0,7714) ≈ 50,46°.

Explicacao: A Lei do Seno e ideal quando conhecemos um lado e seu angulo oposto e queremos encontrar outro lado ou angulo. Note que o angulo B tambem poderia ser 180° - 50,46° = 129,54°, mas nesse caso somaria mais de 180° com o angulo A, entao e descartado.

Resposta: B ≈ 50,46°

Exercicio 27

Enunciado: Num triangulo, a = 8, b = 6 e C = 60°. Calcule o lado c.

Resolucao:

Pela Lei do Cosseno: c² = a² + b² - 2ab·cos(C).

c² = 64 + 36 - 2·8·6·cos(60°) = 100 - 96·(1/2) = 100 - 48 = 52.

c = √52 = 2√13 ≈ 7,21.

Explicacao: A Lei do Cosseno e usada quando conhecemos dois lados e o angulo entre eles. Se o angulo fosse 90°, teriamos c² = 64 + 36 = 100, c = 10 (Pitagoras puro). O angulo de 60° reduz o lado oposto.

Resposta: 2√13

Exercicio 28

Enunciado: Num triangulo, a = 7, b = 10 e c = 5. Calcule o angulo A.

Resolucao:

Pela Lei do Cosseno isolando o angulo: cos(A) = (b² + c² - a²)/(2bc).

cos(A) = (100 + 25 - 49)/(2·10·5) = 76/100 = 0,76.

A = arccos(0,76) ≈ 40,54°.

Explicacao: Quando conhecemos os tres lados, a Lei do Cosseno e a ferramenta ideal para encontrar qualquer angulo. Note que 7 + 5 = 12 > 10, logo o triangulo e valido (desigualdade triangular).

Resposta: A ≈ 40,54°

Exercicio 29

Enunciado: Calcule a area de um triangulo com a = 9, b = 12 e C = 35°.

Resolucao:

A formula da area: Area = (a·b·sen(C))/2.

Area = (9·12·sen(35°))/2 = 108·0,5736/2 ≈ 30,97.

Explicacao: Essa formula e derivada da area tradicional (base × altura / 2). A altura e b·sen(C). Note que se C = 90°, sen(C) = 1 e a formula se torna ab/2, como esperado para um triangulo retangulo.

Resposta: ≈ 30,97

Exercicio 30

Enunciado: Num triangulo com A = 50°, B = 70° e a = 15, calcule o lado b.

Resolucao:

Pela Lei do Seno: b = a·sen(B)/sen(A).

b = 15·sen(70°)/sen(50°) = 15·0,9397/0,7660 ≈ 18,40.

Explicacao: A Lei do Seno e especialmente util quando conhecemos dois angulos e um lado. O angulo C = 180° - 50° - 70° = 60°, e poderiamos calcular c tambem se necessario. Um triangulo e totalmente determinado por tres dados (ao menos um lado).

Resposta: ≈ 18,40

Exercicio 31

Enunciado: Num triangulo equilatero de lado 10, qual e a altura?

Resolucao:

A altura divide o triangulo equilatero em dois triangulos retangulos de 30-60-90.

h = 10·sen(60°) = 10·√3/2 = 5√3 ≈ 8,66.

Explicacao: No triangulo 30-60-90, os lados estao na razao 1 : √3 : 2. O lado oposto ao 30° e metade da hipotenusa, e o lado oposto ao 60° e √3/2 da hipotenusa. Esse tipo de triangulo especial aparece muito em geometria.

Resposta: 5√3

Exercicio 32

Enunciado: Num triangulo, a = 5, b = 5 e C = 90°. Calcule o lado c pela Lei do Cosseno.

Resolucao:

c² = 5² + 5² - 2·5·5·cos(90°) = 25 + 25 - 0 = 50.

c = √50 = 5√2 ≈ 7,07.

Explicacao: A Lei do Cosseno generaliza o Teorema de Pitagoras. Quando o angulo C = 90°, cos(90°) = 0 e a formula se torna c² = a² + b², que e exatamente Pitagoras. Esse exercicio demonstra essa conexao.

Resposta: 5√2

Exercicio 33

Enunciado: Um triangulo tem lados 13, 14 e 15. Calcule a area.

Resolucao:

Usando a formula de Heron: s = (13+14+15)/2 = 21.

Area = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(21·8·7·6) = √7056 = 84.

Explicacao: A formula de Heron e util quando conhecemos os tres lados e nao temos nenhum angulo. Tambem poderiamos ter usado a Lei do Cosseno para encontrar um angulo e depois aplicar a formula Area = ab·sen(C)/2. Os dois metodos dao o mesmo resultado.

Resposta: 84

Exercicio 34

Enunciado: Num triangulo, A = 120°, b = 6 e c = 5. Calcule o lado a.

Resolucao:

a² = b² + c² - 2bc·cos(A) = 36 + 25 - 2·6·5·cos(120°).

cos(120°) = -1/2, logo:

a² = 61 - 60·(-1/2) = 61 + 30 = 91.

a = √91 ≈ 9,54.

Explicacao: Observe que o angulo obtuso (120°) faz com que o lado oposto seja maior do que seria se o angulo fosse agudo. O cosseno de angulos obtusos e negativo, o que aumenta o valor de a². Esse e um ponto chave da Lei do Cosseno.

Resposta: √91

Exercicio 35

Enunciado: Num triangulo, a = 20, A = 30° e B = 45°. Calcule o lado b.

Resolucao:

Pela Lei do Seno: b = a·sen(B)/sen(A) = 20·sen(45°)/sen(30°).

= 20·(√2/2)/(1/2) = 20·√2 ≈ 28,28.

Explicacao: Quando conhecemos dois angulos e um lado, a Lei do Seno resolve rapidamente. O angulo C = 180° - 30° - 45° = 105°. Note que b > a porque B > A, o que faz sentido geometricamente.

Resposta: 20√2

Exercicio 36

Enunciado: Um observador esta a 50 m de uma torre. O angulo de elevacao ate o topo e 30°. Qual e a altura da torre?

Resolucao:

No triangulo retangulo formado: tan(30°) = h/50.

h = 50·tan(30°) = 50·√3/3 ≈ 28,87 m.

Explicacao: Problemas de angulo de elevacao e depressao sao classicos de trigonometria e aparecem muito no ENEM. O observador, a base da torre e o topo formam um triangulo retangulo onde a tangente relaciona a altura com a distancia horizontal.

Resposta: ≈ 28,87 m

Exercicio 37

Enunciado: Dois pontos A e B estao na mesma reta horizontal. De A ve-se o topo de um predio com angulo de 45°. De B, a 20 m de A, ve-se com angulo de 30°. Qual e a altura do predio?

Resolucao:

Seja h a altura e d a distancia de A ao predio. De A: tan(45°) = h/d → h = d. De B: tan(30°) = h/(d+20).

Substituindo d = h: h/(h+20) = √3/3.

3h = √3(h+20) → 3h = √3h + 20√3 → h(3-√3) = 20√3.

h = 20√3/(3-√3) = 20√3(3+√3)/((3-√3)(3+√3)) = 20√3(3+√3)/6.

= (60√3 + 60)/6 = 10√3 + 10 ≈ 17,32 + 10 = 27,32 m.

Explicacao: Esse tipo de problema, com dois observadores em posicoes diferentes, e muito comum em provas. O segredo e montar um sistema de equacoes usando a tangente. Sempre desenhe o diagrama antes de comecar.

Resposta: ≈ 27,32 m

Exercicio 38

Enunciado: Um navio esta em A e observa um farol em B com angulo de 20°. Depois de navegar 5 km ate C, o angulo para B e de 50°. Qual e a distancia BC?

Resolucao:

Angulo BAC = 20°, angulo externo em C = 50°. Angulo BCA = 180° - 50° = 130°.

Angulo ABC = 180° - 20° - 130° = 30°.

Pela Lei do Seno: BC/sen(20°) = AC/sen(30°).

BC = 5·sen(20°)/sen(30°) = 5·0,342/0,5 ≈ 3,42 km.

Explicacao: Problemas de navegacao sao uma das principais aplicacoes da trigonometria. Note a importancia de calcular corretamente os angulos internos do triangulo. O angulo em C e suplementar ao angulo externo de 50°.

Resposta: ≈ 3,42 km

Exercicio 39

Enunciado: Calcule a area de um triangulo com vertices em A(0,0), B(4,0) e C(2,3).

Resolucao:

Usando a formula de area por coordenadas:

Area = |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)| / 2

= |0(0-3) + 4(3-0) + 2(0-0)| / 2 = |0 + 12 + 0| / 2 = 6.

Explicacao: Tambem poderiamos resolver observando que a base AB tem comprimento 4 e a altura relativa a essa base e a coordenada y de C, que e 3. Logo, Area = 4·3/2 = 6. Duas abordagens, mesmo resultado.

Resposta: 6

Exercicio 40

Enunciado: Resolva completamente o triangulo com a = 15, b = 20 e C = 45°.

Resolucao:

1) Lado c: c² = 15² + 20² - 2·15·20·cos(45°) = 225 + 400 - 600·(√2/2) = 625 - 300√2.

c² ≈ 625 - 424,26 = 200,74. Logo c ≈ 14,17.

2) Angulo A: sen(A) = a·sen(C)/c = 15·sen(45°)/14,17 ≈ 15·0,7071/14,17 ≈ 0,749.

A ≈ arcsen(0,749) ≈ 48,5°.

3) Angulo B: B = 180° - 45° - 48,5° = 86,5°.

4) Area: (15·20·sen(45°))/2 = 300·0,7071/2 ≈ 106,07.

Explicacao: Resolver completamente um triangulo significa encontrar todos os lados e angulos faltantes e a area. Esse tipo de exercicio sintetiza todo o conteudo de trigonometria e e muito cobrado em provas. Note como usamos tanto a Lei do Cosseno quanto a Lei do Seno na resolucao.

Resposta: c ≈ 14,17, A ≈ 48,5°, B ≈ 86,5°, Area ≈ 106,07

Gabarito

Abaixo esta o gabarito completo com as respostas de todos os 40 exercicios. Use para conferir seus resultados. Lembre-se que em trigonometria o processo de resolucao e tao importante quanto a resposta final.

Continue estudando

Parabens por completar os 40 exercicios! Para continuar seus estudos de trigonometria e reforçar o que aprendemos aqui, consulte as aulas anteriores do modulo. Cada aula aprofunda um dos topicos trabalhados nestes exercicios.